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获得以上重要但错误的结论之后，开普勒重新回到了火星的运动学 。他首先提出了确定任意时刻火星的位置问题 。这需要给出火星运动经过的路程如圆弧QM和火星从Q到M所需的时间之间的关系（见图6.1） 。这对当时的数学而言是不可能的 。
于是开普勒采取了如下近似法 。圆弧上一点M处的速度与MS成反比 。因此，通过M处一定长度的弧所需要的时间可用MS的长度来表示 。这样一来，通过弧QM所需要的时间是动径MS的和 。


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图6.1
按照阿基米德的理论，动径之和就是扇形的面积 。但是阿基米德的这个结论只有在S位于圆心C处时才正确 。而开普勒却大胆认为它在偏心圆的情况下也成立，于是给出了动径扫过的面积与时间的关系：成正比 。从推理过程来看这是一个很粗糙的结论，但开普勒由此得到了面积速度恒定的定律（开普勒第二定律） 。
开普勒就这样找到了计算给定时刻的行星位置的方法 。据此，从给定的三个位置就能计算出该行星的远日点位置、偏心率 。开普勒挑选了火星的几组三个位置进行计算，发现结果互相不一致 。于是开普勒抛弃了从柏拉图以来把天体看做沿圆形轨道运动的信条，并得出结论说：火星轨道不可能是圆形 。
为了找到正确的轨道形状，开普勒起先考虑卵形轨道，但计算结果难以与面积定律符合 。后来他尝试椭圆，经过冗长的计算和“简直发疯似的思索”，最后确认，唯有椭圆才是火星的轨道 。并且，开普勒再次大胆地把从火星得来的规律推广到所有行星 。
一个世纪以前，哥白尼已经开始寻找满足几何简单性要求的行星系统 。开普勒解决了哥白尼的问题，他所达到的简单性在天文学史上超出了前人的梦想——仅仅一种圆锥曲线就足以描述所有行星的轨道 。偏心圆和本轮的全部复杂性淹没在椭圆的简单性中了 。
当然接受椭圆简单性是有代价的，那就是抛弃圆及其拥有的完美无缺、不易性和有序性的古老内涵 。开普勒心中也许从来没有忘记圆所具有的诱惑力 。在他看来，面积定律的价值在于它提出了新的一致性来取代圆周运动的一致性 。
【带你了解开普勒对运行规律做出了解释 开普勒行星运动定律】我们既可以说开普勒完善了哥白尼学说，也可以说他破坏了哥白尼学说 。在1609年出版的《新天文学》中，开普勒发表了行星运动的第一定律和第二定律；在1619年出版的《宇宙和谐论》中他进一步发表了行星运动的第三定律 。这三条行星运动定律现在一般表述为：（1）行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上；（2）从太阳到行星的矢径在相等时间里扫过相等的面积；（3）各行星公转周期的平方与轨道半长径的立方成正比 。它们被称做开普勒定律，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础 。

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