今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解 。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出 。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来 。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间 。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间 。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间 。总之，空间有很多种 。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是：存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间 。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的 。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点 。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：
1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2.这些点之间存在相对的关系；
3.可以在空间中定义长度、角度；
4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动 。
上面的这些性质中，最最关键的是第4条 。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间 。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质 。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征 。认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间 。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换） 。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已 。因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动 。下面我们来看看线性空间 。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合 。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案：线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式 。通常的向量空间我就不说了，举两个不、那么平凡的例子：
1、L1是最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多式 。如果我们以x0,x1,...,xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数 。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以 。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已 。

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