。


图7：(左)彭罗斯风筝和飞镖拼块可以通过剖分(右上)角度为72°和144°的单个菱形获得；瓷砖的长边与短边之比就是黄金数T = (1 +√5)/2 。 两个单幅图块的顶点被着色 ， 如图所示；只允许相同颜色的顶点匹配 。 虽然有无限多的镶嵌遵循这些规则 ， 但每一个都是非周期性的 。 这里的图纸是由Stan Wagon使用计算机软件程序Mathematica [33
绘制的 。
另一个最近有很多研究的领域是关于彩色瓷砖——瓷砖的颜色可以作为信息的代码 ， 或者通过对比使单个瓷砖可被识别 ， 或者纯粹是为了讨好设计 。 正如对称组可以用来对瓷砖进行分类一样 ， 它们也可以用来对瓷砖的对称颜色进行分类 。 这些分类法被晶体学家使用 ， 也可以用来对彩色周期性设计进行分类 ， 特别是经常遇到的双色“互换”设计 ， 其中同一图案出现在黑色和白色中 ， 例如图2和图5中的图案[22
。 埃舍尔做了很多这样的双色密铺图案；它们是他许多版画中的主要装置 ， 在这些版画中 ， 同一图案（在两种颜色中交替重复）既是图案又是背景 。 然而 ， 对称群似乎并不是一个完全足够的工具来描述和分类彩色密铺图 。 在某些瓷砖中 ， 有许多颜色排列非常有序的例子 ， 但通过对称组的分类却完全没有认识到这种有序性 。 在这个特殊的领域 ， 我们要寻求新的思路 ， 以理解两种有序性的整合可能性：瓷砖的排列和颜色的排列 。
虽然我所讨论的大多数问题都是关于单个瓷砖的镶嵌 ， 但是对不止一种瓷砖的镶嵌也很感兴趣 。 数学家们提出的关于等面镶嵌的同类分类和对称问题也可以应用于两种或多种类型的镶嵌 。 其中一些问题(例如有多少个“两个等面体”镶嵌)最近已经得到了解答 ， 但仍有更多未解决的问题 。 埃舍尔的原始方法是通过两种不同的瓷砖来创建镶嵌 ， 这两种瓷砖在形状和颜色上形成对比[23
， 埃舍尔对如何通过他称为“过渡”的过程从给定的镶嵌中获得新镶嵌的研究最近才发表[24
。 毫无疑问 ， 数学家们会发现他的工作提出的新问题 。
瓷砖问题是那些喜欢解决问题和谜题的人最喜欢的领域 ， 在许多关于“娱乐”数学的文章和书籍中都可以找到 。 这些问题大多没有直接的解决方案 ， 那些有高等数学背景的人在解决这些问题时不一定有优势 。 由全等正方形的边缘匹配而成的特殊瓷砖（如图3中的十字瓷砖）被称为多米诺 。 这种类型的瓷砖会引来一些问题 ， 例如 。 其中哪些可以拼成平面？其中哪些可以拼成长方形？一组特定的多米诺形状（比如所有由五个正方形组成的形状）能不能拼成一个长方形？一个图形的复制品能否拼成一个更大但相似的图形？对于通过匹配全等边三角形或全等正六边形而形成的拼块 ， 也可以提出类似的问题[25
。 所罗门·戈隆（Solomon Golomb）将能够填满与该拼块形状相同的更大区域的单一拼块称为“重复拼块”；寻找重复拼块（不仅仅是在多面体中）是一个令人愉快的挑战[26
（图8.） 。 这个问题也可以用相反的方式提出来 。 给定一个特定的瓷砖 ， 有没有可能把它分解成与给定瓷砖形状相似的全等的碎片？重复密铺有一个有趣的结果：它提供了一个与重复平移的周期性过程完全不同的密铺平面的过程 。 约翰·康威称之为“膨胀” ， 这个过程从一个单一的形状开始 ， 用它的有限数量的副本来填充一个相似但更大的形状 ， 然后用这些更大的形状重复这个过程——随着这个过程无限地继续下去 ， 拼块必须增长以填充整个平面 。 这种过程可以描述一种已知的非周期性拼块填充平面的方法 ， 而这正是证明其非周期性的关键[27