。


图8：两个“爬行动物” ， 每个都能够填充一个相似的形状 ， 其比例是原始瓷砖的两倍 。
从历史上看 ， 设计师和工匠们对瓷砖的兴趣似乎从未间断过 。 似乎没有哪个时期的拼块没有被用于功利性和装饰性；各种文化在拼块的设计中自由地借用他人的想法并发展自己的特殊风格 。 然而 ， 直到最近 ， 数学家们对这一主题的兴趣还不大 。 除了少数值得注意的例外（如约翰内斯·开普勒） ， 数学家们忽视了这个问题 ， 或将其归入轻浮或娱乐的数学范畴 。 在19世纪末 ， 晶体学结构和分类的问题使一些数学界的人注意到密铺问题 ， 但在本世纪上半叶 ， 只有少数数学家在追求密铺的数学问题 。
今天 ， 数学中的“密铺产业”有一个惊人的增长 。 这个课题所带来的各种各样的困难和数学上的有趣问题已经被格林鲍姆、谢泼德、康威和彭罗斯等研究者带到了数学界的注意中 。 现在 ， 许多数学家和科学家在看似不相关的研究领域发现 ， 其他问题往往可以转化为密铺问题 ， 因此新的活力和洞察力丰富了这个课题 。 而且 ， 瓷砖的令人惊讶的应用比比皆是 。 Dirichlet或“Voronoi”拼块可以说明或帮助解决（数据、物资、粒子或人）的分布问题[28
；非周期性拼块被研究为与新发现的“类晶体”相类似；拼块被研究为理解自然界的结构和创造建筑结构；拼块可用于教学 ， 直观地说明抽象的代数概念[29
。 瓷砖被用来 \"自动”生成群组[30
；考古学家可以利用瓷砖的对称性分类来理解文化风格[31
；瓷砖被用来理解、简化或创建电路和其他连接；瓷砖提供了一种图形方式来说明“不可解性”的困难逻辑问题[32
。 当然 ， 密铺也是一种乐趣 ， 是一种永无止境的创造性消遣的来源 。 今天 ， 许多数学家可能会认同埃舍尔的想法 ， 认为密铺是有史以来最丰富的灵感来源 。
参考文献
1. M. C. Escher The Graphic Work of M. C. Escher (New York: Ballantine Books 1967) p. 9.
2. For an explanation of how some interesting nonplanar surfaces can be tiled see Marjorie Senechal \"Escher Designs on Surfaces\" in H. S. M. Coxeter M. Emmer R. Penrose and M. Teuber eds. M. C. Escher: Art and Science (Amsterdam: North Holland 1986) pp. 97-122; in the same book see also Douglas Dunham \"Creating Hyperbolic Escher Patterns\" pp. 241-248.
3. Mathematicians use the word tileas both noun and verbjust as in common usage: \"I tiled my kitchen floor with square tiles.\"
4. For the most comprehensive source of information on all aspects of tilingsee Branko Gruinbaum and G. C. Shephard Tilings and Patterns (New York: Freeman 1987).
5. Ivan Niven \"Convex Polygons which Cannot Tile the Plane\" American Mathematical Monthly 85 No. 10 785-792 (1978).
6. Doris Schattschneider 'Tiling the Plane with Congruent Pentagons\" Mathematics Magazine 51 No. 1 29-44 (1978). See also Mathematics Magazine 58 No. 5 (1985) p. 308 and cover.
7. Martin Gardner \"Tiling with Convex Polygons\" in Time Travel and Other Mathematical Bewildermnnents (New York: Freeman 1988) pp. 163-176.
8. Doris Schattschneider \"In Praise of Amateurs\" in David Klarner ed. The Mathematical Gardner (New York: Wadsworth 1981) pp. 140-166.
9. See Grunbaum and Shephard [4
section 1.5.
10. Roger Penrose \"Escher and the Visual Representation of Mathematical Ideas\" in Coxeter et al. [2
pp. 143-157.
11. See Griinbaum and Shephard [4
sections 3.2 and 3.10.
12. Ludwig Danzer Branko Grunbaum and G. C. Shephard \"Does Every Type of Polyhedron Tile Three-Space?\" Structural Topology 8 (1983) pp. 3-14.
13. See Grfnbaum and Shephard [4
chapter 3.
14. Doris Schattschneider \"In Black and White: How to Create Perfectly Colored Symmetric Patterns\" Computers and Mathematics with Applications 12B Nos 3/4 673-695 (1986); Also published in Istvan Hargittai ed. Symmetry: Unifying Human Understanding (New York: Pergamon 1986) pp. 673-695.