我们学到的均值不等式一般指x^2+y^2>=2xy 。这个不等式是非常好推导的 。它利用了平方数的非负性 。

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由(x-y)^2>=0 ， 左边展开就可以得到x^2-2xy+y^2>=0 ， 移项就可以得到x^2+y^2>=2xy ， 当且仅当x=y时, x^2+y^2=2xy 。然而 ， 真正的均值不等式 ， 其实远没有这么简单 。我们所学的只是均值不等式中的一部分 ， 而且是这个部分中的特例 。

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真正的均值不等式指的是调和平均数不大于几何平均数 ， 几何平均数又不大于算术平均数 ， 算术平均数不大于平方平均数 。这里有四个平均数 ， 都可称为均值 ， 它们分别调和平均数 ， 一般记做Hn ， 几何平均数一般记做Gn ， 算术平均数一般记做An ， 平方平均数一般记做Qn 。即完整的均值不等式应该是指Hn<=Gn<=An<=Qn 。

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这几个平均数到底指的是什么呢？数术平均数大家应该都很清楚了 ， 就是一组数的和除以这组数的个数；几何平均数知道的人应该也不少 ， 就是一组数的积开n次方 ， n就是这组数的个数；调和平均数则是一组数的倒数的算术平均数的倒数 ， 晕不晕？好好理解一下 。平方平均数则是一组数的各个数平方的算术平均数的算术平方根 。
我们一般说的均值不等式 ， 就是Gn<=An在两个数之间的平均数关系 。然而真正的均值不等式 ， 是可以涉及到更多个数 ， 甚至是无穷个数的 。
这两个数就是x^2和y^2 ， 而它们的算术平均数就是(x^2+y^2)/2 ， 它们的几何平均数则是根号内(x^2y^2)=xy. 注意了 ， 这里要求x和y同号 ， 甚至我们通常会要求x和y都是正数 。而前面的推导过程中 ， 却是允许x和y异号的 ， 因为当x和y异号时 ， x^2+y^2>0 ， 2xy<0 ， 自然就有x^2+y^2>2xy成立 。但这里要使根号内(x^2y^2)=xy成立 ， 就必须要求x和y同号 ， 甚至都为正数 。
根据几何平均数不大于算术平均数 ， 就有xy<=(x^2+y^2)/2 ， 两边同时乘以2 ， 就可以得到x^2+y^2>=2xy 。大家应该发现了 ， 我们这里所取的两个数是x^2和y^2 ， 为什么要取平方呢？其实这真的是没有必要的 。我们也可以取两个正数x和y ， 然后根据几何平均数不大于算术平均数 ， 就有根号(xy)<=(x+y)/2 ， 两边同时乘以2 ， 就可以得到“均值不等式”的另一个形式：x+y>=2倍根号(xy) 。

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如果把“几何平均数不大于算术平均数”当做鸡的话 ， 那么x^2+y^2>=2xy和x+y>=2倍根号(xy)都是它的蛋 。问题来了 ， 究竟是先有鸡还是先有蛋呢？事实上 ， Gn<=An本身就是由一个数和两个数的特殊情况 ， 运用数学归纳法的思想推广到更多个数 ， 甚至是无穷个数的情况的 。

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