二进制乘法运算器二进制乘法原理图( 二 ) _操作

上面的式子有一个假设，就是假设对于w位的两个补码数来说，它们的乘积的低w位与无符号数乘积的低w位是一样的。这意味着计算机可以使用一个指令执行无符号和补码的乘法运算。
3、乘法运算的优化。
根据小学所学的乘法运算，假设两个w位的二进制数相乘，则需要进行w次与运算，然后进行w - 1次加法运算才能得到结果。
从此不难看出，乘法运算的时间周期是很长的。因此计算机界的高手们想出了一种方式可以优化乘法运算的效率，就是使用移位和加法来替代乘法。
上述优化的前提是对于一个w位的二进制数来说，它与2k的乘积，等同于这个二进制数左移k位，在低位补k个0 。在书中对这一等式进行了证明，过程如下。
这个过程主要应用了无符号编码的公式。
有了上面的基础，就可以使用移位和加法对乘法优化了。
对于任意一个整数y ，它总能使用二进制序列表示（假设不超过二进制的表示范围），因此可以将x和y乘积的二进制序列表示为如下形式（此公式在书中没有展现）。
x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) = (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0 。
举个例子，对于x * 17 ，可以计算x * 16 + x = (x << 4) + x ，这样算下来的话，只需要一次移位一次加法就可以搞定这个乘法运算。
而对于x * 14 ，则可以计算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ，更快的方式可以这么计算， x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。
这里最后需要提一下的是，加法、减法和移位的速度并不会总快于乘法运算，因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了。
4、二进制乘法的运算步骤。
二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。
但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：
1、0×0＝0 。
2、0×1＝1×0＝0 。
3、1×1＝1 。
例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1 ，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0 ，则该次部分积为0 。
某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
参考资料来源：搜狗百科——二进制乘法
二进制的乘法法则有几个？1）二进制数的加法
根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：
0＋0＝0
0＋1＝1＋0＝1
1＋1＝0 （进位为1）
1＋1＋1＝1 （进位为1）
2）二进制数的减法
根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：
0－0＝0
1－1＝0
1－0＝1
0－1＝1 （借位为1）
3）二进制数的乘法
二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：
0×0＝0
0×1＝1×0＝0
1×1＝1
由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1 ，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0 ，则该次部分积为0 。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
4）二进制数的除法
二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1 ，并得相减之后的中间余数，否则商为0 。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

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二进制乘法运算器 二进制乘法原理图( 二 )

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