法律要求当事人在诉讼过程中应履行诉讼义务主要有：
1、依法行使诉讼权利，尊重 对方当事人和其他诉讼参与人诉讼权利的行使 。
2、遵守诉讼秩序 。主要有按时到庭参加诉讼活动，遵守法庭纪律等 。

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3、履行发生法律效力的裁定、判决和调解书 。
【法律依据】
《道路交通安全法》第七十四条，对交通事故损害赔偿的争议，当事人可以请求公安机关交通管理部门调解，也可以直接向人民法院提起民事诉讼 。

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