1+1=2
【哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？】Plateau's problem（普拉托问题）
这个问题看上去非常简单，就是问在边界固定的情况下，什么样子的曲面面积最小 。这在物理上是一个很显然的问题 。根据普拉托定律，你拿个铁丝弯成边界，然后吹肥皂泡就好了 。但是这个在数学上来说，是一门学科，几何测度论（ Geometric measure theory ）的核心问题 。
为什么说这个问题难呢？我们考虑一个简单的情形，即在三维空间中边界为圆弧的曲面 。这个问题答案很显然，就是圆盘 。但是从数学角度而言，这个不简单 。
通常的想法就是，我们可以把曲面视为一个从二维圆盘到三维空间的映射，然后利用变分法去考虑这个问题 。但是这个方法有着很多毛病，其中最大的问题就是缺乏紧性 。我们不妨试着跟着这个思路走一下，看看会出怎样的问题 。
1. 遍历所有可能的曲面，然后取一个面积趋近于最小（infimum）的序列；
2. 找出一个收敛子序列；
3. 证明极限就是我们想要的曲面，即最小曲面 。
在这三步计划中，第二步就会出现很大的问题 。比如：
【我是一个有理想的曲面，我的目标是要成为极小曲面】
【嗯，我的面积缩小了 。感觉好棒！】
【我的面积又缩小了 。可是为什么我感觉怪怪的呢……】
【啊……肯定有……有什么不对……啊……怎么回事……我的面积明明缩小了啊……为什么……我感觉好奇怪啊……不行啊……为什么会变得这么奇怪呢……啊……】
【图片来源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】
【请绅士们严肃看待这些图片，不要想歪了！也不要“我好兴奋啊”！】
换句话说，即使是曲面的面积在趋近于，你所取得序列也可能长得非常奇怪，有很多很多的触手（马猴烧酒的好朋友），甚至于这些触手可以触及空间中所有的有理点 。换句话说，你最后得到的东西的闭包是整个 .
看看，物理中多么显然的东西，在数学中就是这么的让人纠结 。存在性就已经够难了，更别说正则性（即最小曲面是否光滑等等）……这个问题直到20世纪中期才有解决方法 。具体方法涉及专业知识较多，我自己也不是很熟悉，就不细说了 。
其实这种问题很多 。比如在给定条件（比如边值）下的拉普拉斯方程
的解的问题 。这个问题在物理上也是几乎显然的，因为电势就是解 。但是在数学上这个问题并不简单，一般而言需要Sobolev空间等知识进行解决 。
哥德巴赫猜想:1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了一个猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和，欧拉也在回信中表达了对于这个猜想的肯定，因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和 。这就是典型的难证明问题，因为你随便找出一个大于5的整数，它就一定能够由三个质数想加的出，但是至今无人能够证明出来，在这方面走的最远的人应该就是我国著名数学家陈景润先生了，陈景润先生1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，因此他也被称为哥德巴赫猜想第一人 。
2、一加一等于二:大家可能会觉得我在开玩笑，因为这是一个连小学生也天天拿来用的东西，怎么会没经过证明呢？在这里我明确的告诉大家，一加一等于二仅仅是一个结论，而且是一个正确的结论，所以拿来用肯定是对的，但是数学界有很多的结论可以拿来用，却没有经过证明，一加一等于二就是被用最多的之一，迄今为止，全世界没有人能够证明得出一加一等于二，不过大家也不用怀疑什么，因为这个结论肯定是对的，并且已经有数学家证明出了一家二等于三，这样的话，离证出一加一等于二还会远吗？

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