文章插图
Credit: 3blue1brown
显然 ， 这个方向上的投影会让小块的高度萎缩 ， 也就是黄色的线段长度会缩短 。
因为球的体态圆胖 ， 越靠近两极 ， 小块越是趋近“平躺” ， 投影之后高度萎缩的也越多；而在赤道上 ， 小块直立 ， 投影不改变小块的高度 。

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JH 投影后萎缩成了 EF
显然 ∠α=∠β=∠γ ， 于是 △HAD ， △HIJ 两个三角形是相似三角形 ， 根据比例关系 ， 我们知道：
EF/JH = d/r
也就是说 ， 平视方向投影会让小块高度萎缩 ， 缩小比例是 d/r 。
于是神奇的现象发生了 ， 球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化 ， 宽度拉长了 r/d 倍 ， 同时高度萎缩了 d/r 倍 ， 而这两个倍数相乘正好等于 1 。
如此一来 ， 小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用几个三角形 ， 我们就开心的证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代 。

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投影变化前后 ， 小块的面积不变
那么 ， 算个球的表面积 S球= S筒 = 2πr*2r = 4πr2 。
祖暅原理
祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理） ， 因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理 ， 用于复杂几何领域 ， 但实际上祖暅的发现比他早了1100年 。
“幂势既同 ， 则积不容异”这句话就出自于祖暅 。如果你对高中数学课本有印象 ， 也许记得这里的“幂”指体积 ， “势”则为高度 。意思就是：高度相同的物体 ， 如果每个剖面面积也一样 ， 它们的体积就相等 。
祖暅原理的提出本是为了解决计算牟合方盖的体积问题 ， 从而算球的体积 。但现在更加常见的用法是下面这样:

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图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积 ， 原因就是它们每个剖面的面积都相等 。有兴趣的小伙伴可以用半球为例 ， 试着计算 。

文章插图
利用上图很容易发现 ， 在高度是 h 的地方 ， 球的截面积是：π*（r2-h2） ， 而圆柱减去圆锥的截面积是：πr2（圆柱截面）-πh2（圆锥截面） ， 它们正好相等 。
于是 ， 算个球问题一下变成了算圆柱和圆锥的体积问题 。
算个球的体积！
了解了祖暅原理 ， 我们就可以绕过微积分 ， 直接算球了！
由祖暅原理 ， 半球的体积经过我们巧妙的转化 ， 成了用圆柱和圆锥的体积来表示 。
众所周知 ， 圆柱体积是圆面积和高度相乘 ， V圆柱= πr2*r = πr3 。而圆锥的体积 ， 假如你不知道 ， 查阅资料会发现 V圆锥= πr3/3 ， 正好是圆柱的三分之一 。
好奇宝宝也许会问 ， 三分之一是怎么来的？既然你诚心诚意的问了 ， 祖暅会大发慈悲的为你解答 。

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