前段时间有人问 ， 球的体积计算公式是什么？
【球体表面积公式推导图解 球体表面积公式是多少】由于长期依赖各类搜索 ， 再加上对睡觉 ， 刷剧 ， 电子竞技等一系列新兴趣的开发 ， 这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后 。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现 ， 基础的微积分计算法则好像也有些生疏了 。
于是我开始了相关探索 ， 半天下来 ， 不仅成功算了个球的表面积 ， 还算了个球的体积 ， 而这个过程 ， 和微积分法则毫无关系 。那么怎样不用微积分就能算个球呢？

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Credit: 3blue1brown
首先 ， 抛弃了微积分这一曲线计算利器 ， 我们的替代工具是：一点点相似三角形知识 ， 一点点空间想象力 ， 再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理 。
算个球的表面积！
众所周知 ， 球的表面积公式是 4πr2 ， 正好是同半径圆形面积的4倍 ， 这不禁让人浮想联翩 ， 为什么正好是 4 倍呢？难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密？顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手 ， 感到弱小 ， 可怜 ， 又无助 。
这也正是我初期经历的心路历程 ， 直到我发现了另一个秘密：4πr2正好是这个球外接圆柱的外围面积 。

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想象一下 ， 如果把球表面划分小块 ， 沿水平向四周投影 ， 按理来说 ， 这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒” 。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高：2πr*2r = 4πr2 ， 和里面这颗球的表面积不谋而合！
就像下图右上角示意的那样 ， 球上的小块被投影到圆筒上会变形 ， 它们的宽度可能增大 ， 而高度会相应变小 。

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小块可以从平视和俯视两个方向来观察 。那我们就来看看 ， 投影过程中 ， 我们的小块到底经历了什么不为人知的变化 。
先看俯视图：

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从中心轴往外投影 ， 聪明的你一定已经发现 ， 投影的距离越远 ， 小块就会变得越宽 。
所以纬度越高的地方 ， 也就是越靠近上下顶点的小块 ， 投到圆筒上之后 ， 宽度增加得越多；位于赤道上的小块与圆筒相接 ， 宽度也就不发生变化 。

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EF 被拉长成了 CD
如果你知道相似三角形的比例关系 ， 由于 △AEF和△ADC 相似 ， 所以 ， 这个增大的倍数是 r/d ， 也就是
CD/EF = r/d
对于球上不同的纬度 ， d 会改变 ， 而球的半径 r 不变 。越靠近两极 ， d 越小 ， r/d 就越大 ， 小块的宽度增加也就越多 ， 这和我们观察到的现象一致 。
类似地 ， 可以看看平视方向的情况：

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