1824年，一位年轻的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔取得了一个与某类方程相关的令人震惊的结果 。不久之后，法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦以深入的眼光证明了这一结果为什么是正确的——并在这个过程中开创了用数学研究对称性的先河 。可惜两人都英年早逝，没有来得及享受他们的工作带来的好处 。阿贝尔于1829年死于肺结核和贫困，时年26岁 。伽罗瓦死于1832年，他在一场据称是为了争夺一个女人而进行的决斗中被杀死 。当时他只有二十岁 。

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尼尔斯·亨里克·阿贝尔
【解方程常用公式 解方程公式法】

那么他们做出了什么样的工作？方程和对称性又有什么关系？


解方程


最著名的公式之一是二次方程的通解公式，如果方程写为：


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那么通解公式就可以告诉我们方程的解为：


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以及


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无论a，b，c的值是多少，这个公式都可以告诉你解是多少 。它们使用起来很方便 。
这有一个类似的但复杂得多的公式可以告诉你三次方程的通解，方程的形式为：


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还有一些更复杂的方程可以告诉你四次方程的通解，这些方程可以写为：


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虽然关于二次，三次，四次方程的通解公式看起来有些复杂，但是它们只包含了有限个运算操作：加、减、乘、除、开平方、开三次方、开四次方 。
很显然，你接下来会问，我们可以为五次方程找到一个类似的通解公式吗？
更一般的，包含x高阶项的多项式方程的通解公式长什么样子？



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伽罗瓦画像 在他死后16年的1848年，由他的兄弟根据记忆所作
我们想要的是一个公式，这个公式只包含加减乘除和求根操作 。如果一个方程具有这样一个通解公式，那么我们说这个方程是有根式解的 。


1824年阿贝尔证明的结论是：

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