言归正传，如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1） 。现在到了关键的一步 。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系 。结论：矩阵描述了一个坐标系 。“慢着！”，你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了？”嗯，所以我说到了关键的一步 。我并没有骗人，之所以矩阵又是运动，又是坐标系，那是因为——“运动等价于坐标系变换” 。对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻 。准确的说法是：“对象的变换等价于坐标系的变换” 。或者：“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换 。”说白了就是：“运动是相对的 。”
让我们想想，达成同一个变换的结果，比如把点(1,1)变到点(2,3)去，你可以有两种做法 。第一，坐标系不动，点动，把(1,1)点挪到(2,3)去 。第二，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成(2,3)了 。方式不同，结果一样 。从第一个方式来看，那就是把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程 。在这个方式下，Ma=b的意思是：“向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b 。”而从第二个方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为M 。那么：Ma=b的意思是：“有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是b 。”这里的I是指单位矩阵，就是主对角线是1，其他为零的矩阵 。而这两个方式本质上是等价的 。我希望你务必理解这一点，因为这是本篇的关键 。正因为是关键，所以我得再解释一下 。在M为坐标系的意义下，如果把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式，我们可以认为这是对向量a的一个环境声明 。它相当于是说：“注意了！这里有一个向量，它在坐标系M中度量，得到的度量结果可以表达为a 。可是它在别的坐标系里度量的话，就会得到不同的结果 。为了明确，我把M放在前面，让你明白，这是该向量在坐标系M中度量的结果 。”
那么我们再看孤零零的向量b：b多看几遍，你没看出来吗？它其实不是b，它是：Ib也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系I中，有一个向量，度量的结果是b 。”而Ma=Ib的意思就是说：“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！”这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛 。从这个意义上我们重新理解一下向量 。向量这个东西客观存在，但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式 。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同 。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同 。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的 。表示的方式，就是Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a 。
我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在 I 坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况 。注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题 。也就是说，表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系 。所谓M，其实是IM，也就是说，M中那组基的度量是在I坐标系中得出的 。从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出来的 。

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