我们来玩个游戏…
任意挑选一个正整数 。如果它是一个奇数，那么就乘以3再加1 。如果它是一个偶数，那么就除以2 。对得到的新数字做同样的事，一直这样做 。如果你在某一时刻得出了数字1，那么就停止 。
我知道这可能不是世界上最有趣的游戏，但请你多玩一会儿 。我向你保证，这将是很有趣 。

文章插图
例如，如果我们从7开始，我们会得到下面的数列（从现在开始，我们称它为科拉茨序列） 。
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
如果我们从19开始，我们得到：
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
请注意，在某一时刻，我们在上述两个序列中都得到了数字22，因此它们的“尾巴”是一样的 。
问题是：我们总是在1处结束吗？
信不信由你，上述问题是一个深奥的谜题 。尽管很多非常聪明的数学家做出了巨大的努力，但这个问题仍然没有得到解决 。
这个问题被称为 "科拉茨猜想" 。
陷入混沌
但为什么它这么难解呢？毕竟，一个孩子都会明白这个游戏的规则 。它看起来非常简单 。
通过对小数字的科拉茨数列的初步观察，我们没有看到什么出乎意料的情况，但当我们到了，例如，数字27，相应的序列是111步长，它在快速下降到1之前达到9232 。
如果我们绘制27的科拉茨数列，我们会得到以下图表 。
这看起来有点随机，事实上，这个问题有一定的随机性，这使得它很难处理 。我们稍后会再讨论这个问题 。
请注意，如果n是一个奇数，那么3n 1就是一个偶数，我们需要将其除以2，因此我们可以将这两步合并为一步，简单地说就是(3n 1)/2 。
当我们把上述两个步骤结合起来时，我们会把得到的数列称为简化的科拉茨数列 。
考虑一下下面的函数 。
这个函数将输出简化后的科拉茨数列中的下一个数字，当然前提是z是一个整数 。
但是这个函数，如果我们在复平面上定义它，是一个完整的函数，这意味着我们可以给它输入任何复数，而且它是复数可微的 。
马克-张伯伦研究了这个函数在实线上的迭代，结果发现，这导致了一个动态系统 。他表明，这个猜想对于所有的正实数来说并不成立，因为存在着无限多的固定点以及轨道 。
下面可以看到相应的美丽的科拉茨分形 。
这表明，这些数列确实有一些内在的混沌性 。
众所周知，动力系统和分形源于混沌系统，例如天气，其决定性特征是系统对初始条件极为敏感 。
对于我们的问题来说，这意味着考虑整数和实数之间存在巨大差异，即使我们可以通过实数数列任意接近一个给定的整数，相应的科拉茨数列可能非常不同 。这就造成了混乱 。
解
那么，解是什么样子的呢？我们需要证明两件事 。首先，我们需要证明所有数列都是有界的 。换句话说，不存在无限的科拉茨数列 。我所说的无限是指序列中的数字集是无限大的 。第二，我们需要证明不可能出现循环 。也就是说，在科拉茨数列中，我们永远不会遇到一个数字两次 。如果我们从1开始，那么4，2，1的序列就会无限期地重复 。
当然，还有另一种解决办法 。这个猜想可能是错的，数学家试图验证它，取的起始值约为2^68 。1958年，波利亚猜想（Pòlya conjecture）被一个大约1.845×10^361的反例所推翻，这比2^68这数字大得多 。
实际上，这里还可能发生另一件事 。数学家们往往不大谈论这个问题，因为这是很悲伤的想法 。科拉茨猜想在我们的公理系统中可能是无法解决的，也就是说，无论我们如何努力，我们都无法破解它 。

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