?作者 | Doreen
01 问题描述预先知道事物未来的状态总是很有价值的！
√ 预知台风的路线可以避免或减轻重大自然灾害的损失 。
√ 敌国打过来的导弹 ， 如果能够高精度预测轨迹 ， 就能有效拦截 。
√ 操控无人机 ， 需要知道下一刻飞机的方向、速度不断修正 ， 才能精准控制、回避各种风险 。
这是一个状态估计问题如下图所描绘的 ， 在 k 个（一个或多个）时间点上 ， 
基于初始的状态信息

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一系列观测数据

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给定控制输入

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以及系统的运动和观测模型 ， 力求预测系统在每一时刻的真实状态

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图 1.1: 状态估计问题示意图
以自动驾驶为例 ， 图中符号的含义如下：
● xˇ: 设计的轨迹 ， 比如预先计算得出的理想轨迹 。
● w: 驾驶过程中各种操作引入的噪声 ， 称为过程噪声 。
● x: 在理想轨迹之上混入了过程噪声的真实轨迹 。
● t 下标表示时间 。
● n: 观测噪声 。
● y: 观测数据：对真实轨迹的观测 ， 其中包含观测噪声 。
每一个 t ? 1 时刻 ， 系统处于

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状态 ， 输入控制信号

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状态变为

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这一过程用运动模型描述

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此时观测到

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这一个过程用观测模型描述

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可以看出 t 时刻状态 ， 在时间序列上只与 t ? 1 时刻的状态有关 ， 即具有一阶马尔科夫性 。
02 EKF 算法最开始人们对这一问题做了简化 ， 假设模型是线性的 ， 噪声符合高斯分布 ， 提出了 Kalman Filter 。然而总存在某些问题不符合线性与高斯假设 ， 人们又继续探索 。
2.1、Bayes Filter
由于系统状态与观测之间的因果关系 ， 人们首先想到了贝叶斯定理 。对于状态x, 由先验p(x), 后验概率 p(x|y), 推到观测对象发生的概率 。

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考虑到系统的马尔科夫性 ，  t 时刻状态与 t ? 1 时刻之前的状态和控制 输入都没有关系 ， 忽略无关项 ， 改写后如下 。

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2.2、算法改进
上述 Bayes Filter 是精确的模型 ， 然而实际应用却有两个困难：
1.概率密度函数是个无穷维函数空间 ， 需要无先的内存 ， 置信度 p(xk|0, v1:k, y0:k) 需要近似 。一般通过采样的方法解决 。

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