这里我们仍以y=x^2 为例，计算图象上任意一点的斜率m 。
假设该点为（x，y），做对照的另一点为（x+△x，y+Δy），我们按上面的方法再计算一遍：
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…


（x+△x）^2=y+Δy
→x^2+△x^2+2×x·△x=y+Δy


∵ y=x^2
∴ x^2+△x^2+2×x·△x=x^2+Δy
→△x^2+2×x·△x=Δy
（两边减去x^2）
→△x+2x=Δy/△x
（两边除以△x）


∵ （△x→0）lim（△x+2x）=2x+（△x→0）lim △x=2x
∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=2x


我们得出，y=x^2在点（x，y）处的斜率为2x 。


3、从二次函数到幂函数
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…幂：见《欧几里得113》…


通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率 。
但这远远不够 。
我们需要把这种方法扩充到所有幂函数：


（x+△x）^n=y+Δy
→x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=y+Δy （二项展开式）


∵ y=x^n
∴ x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=x^n+Δy
→nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=Δy
（两边减去x^2）
→nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）=Δy/△x
（两边除以△x）


加上极限：
（△x→0）lim[nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x


∴ nx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）


即：（△x→0）lim Δy/△x=nx^（n-1）


我们得出，y=x^n在点（x，y）处的斜率为nx^（n-1） 。

文章插图



4、从幂函数到单项式
…单项式（百度百科）：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式 。
单独的一个数或一个字母也叫做单项式（0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1） 。
分数和字母的积的形式也是单项式…
（…形、式、形式：见《欧几里得13》…）


…单项式（百度汉语）2：没有加、减运算的整式 。
其中数字因数（包括数和表示常数的字母）称为单项式的系数 。
各自变数称为单项式的元，各元指数之和称为单项式的次数，如3xy^3·z^2是三元六次单项式，其系数是3 。
任一非0数都可看作单项式，称为0次单项式 。
0则称为0单项式，次数不定…
（…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…
…系、数、系数：见《牛顿2》…）


我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点（x，y）和（x+△x，y+△y）:


a（x+△x）^（n+1）=y+Δy
→ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=y+Δy （二项展开式）


∵ y=ax^n
∴ ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=ax^n+Δy
→anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=Δy
（两边减去ax^n）
→anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）=Δy/△x
（两边除以△x）


加上极限：
（△x→0）lim[anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x


∴ anx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）


即：（△x→0）lim Δy/△x=anx^（n-1）

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