【数学方法论的意义 数学方法论】

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摘要：中国古代数学具有悠久的传统 。本文论述了中国古代数学的算法化、机械化特征及其对世界数学发展主流的历史贡献，并指出了解中国古代数学发展特征对于现实创新活动的借鉴意义 。
1、中国古代数学的发展
在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久 。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰 。
与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线 。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题 。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解 。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征 。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征 。
1.1、线性方程组与“方程术”
中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法 。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组：
3x+2y+z＝39
2x+3y+z＝34
x+2y+3z＝26
《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将xyz的系数和常数项排列成一个(长)方阵
123
232
311
263439
“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0 。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程 。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除”算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任P.Gabriel教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一 。
1.2、高次多项式方程与“正负开方术”
《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术” 。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解 。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术” 。
用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程
f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+……+a[n-2]x^2+a[n-1]x+a[n]=0(1)
其中a[0]≠0，a[n]<0，要求(1)式的一个正根 。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得
f(c+=a[0](c+h)^n+a[1](c+h)^(n-1)+……+a[n-1](c+h)+a[n]=0
按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程:
f(h)=a[0]h^n+a[1]h^(n-1)+……+a[n-1]h+a[n]=0(2)
（注：这里(2)和(1)式子里的a[i]，一般是不一样的 。）
于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字 。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值 。
如果从原方程(1)的系数a[0],a[1]，…,a[n]及估值c求出新方程(2)的系数a[0],a[1]，…,a[n]的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”，他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范 。

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