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E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2 。


（三）动线（定点）位置需变换 。
线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似 。


【翻折变换类】典型问题：“将军饮马” 。
例4.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为 。

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简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧 。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径 。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P1P2＝OP＝6 。


例5.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。

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简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN\'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN\'⊥AC时，最小值为2√2 。


【平移变换类】典型问题：“造桥选址” 。
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？

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简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A\'到定点B的最短路径 。如下图：

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思路是把动线AM平移至A\'M，A\'N+BN即转化为求定点A\'与定点B之间的最路径 。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A\'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接 。


例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值 。
解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧 。首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，如下图：

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现在把周长转化为A\'C+CD+AD，还需解决一个问题：动线段A\'C与AD之间被定长线段CD阻断，动线段必须转化成连续的路径 。同上题的道理，把A\'C沿CD方向平移CD的长度即可，如下图 。

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现在已经转化为A\'\'D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当A\'\'D与AD共线时A\'\'D+AD最短，即为线段AA\'\'的长 。

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