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“几何最值问题”全总结

一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

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由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

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证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

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简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3 。
（二）动点路径待确定。
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。

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简析：A是定点，B\'是动点，但题中未明确告知B\'点的运动路径，所以需先确定B\'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B\'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B\'C=1 。

例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A\'B\'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A\'B\'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F\'，求线段EF\'长度的最大值与最小值的差。

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简析：E是定点，F\'是动点，要确定F\'点的运动路径。先确定线段A\'B\'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F\'是A\'B\'上任意一点，因此F\'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。

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