逻辑演变分析解答形式逻辑和数学逻辑有什么区别( 二 ) _生活知识

P(0) 成立；
对于任意 n∈?，若 P(n) 成立，则 P(n+1) 成立；

【逻辑演变分析解答形式逻辑和数学逻辑有什么区别】则，对于自然数集合 ? 中的任意元素 n，P(n) 都成立。
作为新的逻辑工具来使用，这称为数学归纳法。
数学还发展了概率论，于是部分不完全归纳逻辑，可用概率来表达归纳推理的可靠性后，就变成统计归纳法，例如，

总体S的n个样本m个样本是 P剩下的个样本不是 P────────────────S有m/n的概率是P

这样，这部分归纳逻辑就成为了有一种数学工具，被数学（特别是统计学）广泛使用。而科学归纳法是对不完全归纳逻辑的科学使用，它只能作为数学家在研究数学时的方式，不能作为逻辑工具被数学使用。
D.形式逻辑系统的具体定义是什么？在一阶谓词逻辑基础上，我们用 L 表示一个逻辑系统使用的符号的总体，称为一门语言，例如：

群语言： L = {?, e}

语言 L 中的符号是抽象的，我们需要对它具体化，例如：

整数加法群：? = {?, +, 0}
自然数乘法群：? = {?, × , 1}

这些成为语言L的结构。
同一个 L 语言的公式（即，命题） φ，在 L 的不同结构中可能逻辑真假不同。又设 Γ 语言 L 的公式组成的集合。对于任意 L的结构M，若 Γ中的所有公式在M中为真，则 φ 在M中一定为真，我们称 Γ 重言蕴含 φ，记为 Γ ? φ 。
一阶谓词逻辑的推演系统 PF，包括：

一组一阶谓词逻辑公式，称为推演公理，记为 Λ，例如：A → (B → A)；
一组推理规则，例如：分离规则 A∧(A→B) ? B （充足理由律）；

对于 Γ 和 φ，若存在一组公式序列 a? a? a? ... a?=φ，满足：

a? ∈ Γ ∪ Λ ；

或

a? 由 a?, a?（u, v < i）经过推理规则得到；

则称 φ 是 Γ 的定理，Γ 是公理。
E.数学系统的逻辑缺陷是什么？我们在之前已经说过，一阶谓词逻辑具有可靠性和完全性，因此被数学逻辑所使用。

可靠性是说，一个公理系统 Γ 的任何定理 φ 都是 Γ 重言蕴含，即，若 Γ ? φ 则 Γ ? φ；
可靠性的逆命题，任意 Γ 重言蕴含 φ 都是 Γ 的定理，就是完全性，即，若 Γ ? φ 则 Γ ? φ；

后者被哥德尔首先证明，称为哥德尔完全性定理。
但是，这只是一阶谓词逻辑系统，而数学逻辑系统，又加入了完全归纳逻辑，由前面的定义看出，这是建立在算术系统之上的，因此，这要求数学必须先加入算术系统 ?，这就出现了问题。
对于由 L语言公式组成的公理系统 Γ，

一致性（自洽性）：若存在公式 φ，同时有 Γ ? φ 和 Γ ? ? φ，则称 Γ 是不一致的，否则称是一致的；（满足矛盾律）
完全性（完备性）：对于任何公式 φ，总有 Γ ? φ 或 Γ ? ? φ，则称 Γ 是完全的，否则称不完全的；（满足排中律）

而哥德尔证明了，哥德尔第一不完全性定理：

含有 ? 的 Γ 不能同时保证一致性和完全性；

于是，数学只能牺牲完全性而让位于一致性，但是遗憾的是，
哥德尔同时又证明了，哥德尔第二不完全性定理：

一致系统 Γ 的一致性不能在Γ内被证明；

这就是数学系统的两大逻辑缺陷。
第一个缺陷告诉我们，数学永远不可能搭建一个可以证明任何命题的公理系统，哥德巴赫猜想很可能是当前数论系统的不完全实例。
第二个缺陷告诉我们，对于公理系统的一致性，我们只能在没有发现矛盾时，被迫承认。

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逻辑演变分析解答 形式逻辑和数学逻辑有什么区别( 二 )

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