问题：形式逻辑和数学逻辑有什么区别吗？
（遇到感兴趣的问题，小石头总是标记一下留在草稿箱里，于是积累的问题就会越来越多 。已经很长时间注意力都在图文写作上了，但最近推荐量太低，实在打击写作热情 。自己想一想：反正也没啥推荐，与其写要求最高的图文，还不如这段时间准备清一清之前积累的回答！）
（这个问题，从去年三月份左右小石头被邀请到现在，已经一年零三个月了，竟然没有一个人回答，估计大家不敢兴趣，但小石头觉得这是个好问题，感谢题主提问，接下来自己会认真回答的！）
A. 什么是形式逻辑？逻辑学研究的对象是：可以区分正确推理和错误推理的方法和原理 。那些独立于意义的、可以在形式上明确区分正确推理或错误推理的部分，就是形式逻辑，而除此之外的都是非形式逻辑 。
演绎逻辑 ，例如，
大前提： 人都会死小前提： 苏格拉底是人 ────────────────结论：苏格拉底会死和 归纳逻辑 ，例如，
前提： 没有人见过黑天鹅────────────────结论： 世界上没有黑天鹅是人类的两大逻辑推理模式 。
其中演绎逻辑可以保证从前提到结论的有效性，故属于形式逻辑，而大部分归纳逻辑则不能，故他们不属于 形式逻辑 。
形式逻辑用三大律，确保推理的有效性，

• 同一律：推理过程中的任何思维形式必须保证确定性和一致性，即，A 是 A；
• 矛盾律：两个矛盾命题不能同时为真，即，非 "A 且 非A" ；
• 排中律：两个矛盾命题必要有一个是真，即，A 或 非A；
• 充足理由律：用于论证，论题的 论据 必须是 真实有效的，即，由 A 和 "若A则B" 可推出 B 。

B. 什么是数学逻辑？数学逻辑并不是一种逻辑类型，而是指：数学所包含的所有逻辑的总和 。具体来说，数学逻辑有，

• 首先，数学使用的大部分的形式逻辑；
• 其次，形式逻辑不包含意义，而数学还使用部分与数学意义相关的逻辑；
• 最后，数学还反过来成为了研究形式逻辑的工具，也就是说数学会去研究逻辑 。

也就是说，数学逻辑分为：数学使用的逻辑（前两者） 和 数学研究的逻辑（后者） 。
数学的本质是，从公理（使用数学逻辑）推导出定理的过程 。
C. 形式逻辑和数学逻辑之间的关系？演绎逻辑，分为，古典逻辑 和 现代逻辑 两个流派，数学使用后者 。
现代逻辑，具有自己的逻辑语言，

• 值：F 假，T 真；
• 运算：? 非，∧与，∨或，→蕴含，?等价，? 恒真，⊥ 恒假；

• 量词：?存在，?全称；
• 模态词：□ 必然 ◇ 可能；
• 谓词：P(x), ...；
• 变量：x, y, ...;
• 兰姆达表达式：λx. P(x)；

同时，又分为很多子类，这些子类对逻辑语言的使用广度不同，如下图所示，


文章插图
其中，（非模态的）一阶谓词逻辑（包括命题逻辑），被证明具有 可靠性和完全性（详见后文），所以被数学当做可靠的逻辑工具使用，也就是说，数学使用的逻辑包含 仅仅包含 现代逻辑 中的 一阶谓词逻辑 。
反过来，现代逻辑就是以数学为工具进行研究的，也称为数理逻辑，所以说，现代逻辑属于数学研究的逻辑，也就是说，数学用了一部分可靠的 现代逻辑为基础研究了整个现代逻辑 。
数学在一阶谓词逻辑的基础上，加入了归纳逻辑中的完全归纳逻辑：

• 若谓词P(x) 满足，
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