再回到最初，让我们看看，数学逻辑 对于 形式逻辑 的 四大律 的支持：

• 同一性：完全支持，数据概念是精确的；
• 矛盾律：支持，但无法证明支持（第二不完全性定理）；
• 排中律：大部分情况支持，存在不支持的可能（第一不完全性定理）；
• 充足理由律：数学是从公理到定理的演绎推导过程，在这个过程中完全支持，但是，数学无法 给出公理 正确性的论据 。严格的来说，演绎的前提，必须归纳得到，公理的归纳不是完全归纳法，其可靠性是一个概率，数学不能无法保证其值是1，而且公理的正确性来自（数学之外的）实践 。

所以说，数学逻辑是有限的支持形式逻辑的四大律的 。
虽然，完全归纳法的引入，给数学引起了不小的麻烦，但是数学确实离不开这个逻辑，所以也就只能这样了 。
F. 数学逻辑有哪些演变？演变1：
数学 将 概率本身 直接 作为逻辑工具的一部分使用，开创了一个新的数学分支—— 模糊数学，概率 可认为是 模态词 的 数学化，于是 模糊数学 可认为纳入了 模态逻辑 的数学。
演变2：
无穷是数学中引入的一个逻辑概念，对于 无穷 有两种认识：

• 潜无穷：认为无穷是一个变化过程，而非数学对象，以此建立了标准分析；
• 实无穷： 认为无穷是一种对象，以此建立了非标准分析；

而 集合论 也是 实无穷 思想的体现 。
演变3：
有一部分数学家，认为数学是一种构造，称为直觉主义 。而，反证法：

• 由 Γ 证明 φ 比较难，于是 将 ? φ 加入 Γ 中，组成 Γ' = Γ ∪ {? φ}，然后找出 Γ' 的不一致性，这样就说明，? φ 与 Γ 不兼容，? φ 不是 Γ 的定理，Γ ? ? φ 不成了，然后 排中律，得出 Γ ? φ 成立 。

的证明 并没有，从 Γ 构造出 φ，因此 被 直觉主义 否认 。直觉主义 将 排中律 从形式逻辑中拿掉，从而 建立的 直觉逻辑 。
G. 如何学习形式逻辑和数学逻辑？数理逻辑 就是用 数学的方法来研究 形式逻辑，而在 数理逻辑之前，人们使用 传统的 哲学方式来研究 形式逻辑，这称为 经典逻辑 。
早期，与经典逻辑，同时出现的还有印度的因明和中国的名/墨辩，但时间进入19 世纪中叶，数理逻辑的出现，标志着形式逻辑从传统走向现代，而因明和名辩至今并没有长足发展 。黑格尔的辩证逻辑，虽然和传统逻辑有少部分重合，但它也没有进入现代化 。
学习 《数理逻辑》需要很好的数学基础，这就把很多人拒之门外，为了让更多的人学习形式逻辑，逻辑学家，尽量 去除 现代形式逻辑 中 数学部分，得到了 《普通逻辑学》 比较基础 和 数学关系不大 。《普通逻辑》（或《逻辑学》）是 形式逻辑的入门 教材，以经典逻辑为主要内容，包含一些数理逻辑 的初期的结论（以哲学方式来论述） 。由于学习 数理逻辑 需要很好的数学基础，所有 这样编写教材的好处是，不至于把文科生拒之形式逻辑的大门外 。
虽然，理科生的 形式逻辑入门教材 是 《离散数学》，其中包括 数理逻辑，但是 看看《普通逻辑》依然有好处 。

这里必须吐槽一句：有些辅导机构，以中国没有单独的开设逻辑学课，来抹中国基础教育，从而达到销售其课程的目的，的作法，是非常不厚道的 。实际上，数理逻辑，在 高中数学 中 就引入了，而 从小学 开始 语文 就 潜移默化 的 培养 孩子 的 传统逻辑 能力了 。

当然，不管是 文科 还是 理科，要研究形式逻辑，最终都要去 啃 像《数理逻辑教程》这样，砖一样的书，因为数理逻辑是 现代形式逻辑的 唯一形式 。

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