上述情景说明，数学推理必须遵循的一个原则：数学推理的每一个局部范围都必须独立地成立，因而推理中不能默认题目中的条件或前面推出的结论 。也就是说，不论你摘取任何一个局部，它都是对的！


实际上，数学的每个定理、性质、公式、法则，其实质就是明确规定由谁只能推出谁，一切推理片段都必须有其中之一作保证 。它决不允许象文科那样，将所有条件罗列在一起，然后写出结论 。
如果可以那样做，则数学证明题就不需要证明了，人人都能得满分，是因我有这样一个“万能证题法”：因为有A，又因为有B，…（罗列题中的所有条件），结合定理C，所以结论P成立 。


有的学生给出这样的“证明”后还振振有词：“老师，你说我的证明有问题？你能举出反例说明我的证明不对吗？”
老师确实没有办法举出反例，因为既然是证明题，结论必定是对的，无法举出反例 。所谓的解答“有问题”，是指推理过程不严谨 。


大家可能注意到这样的现象：在小学尤其是低年级阶段，同班学生的成绩基本上没有多少差别，这是因为低年级的数学只涉及到计算而没有数学推理，一旦出现需要运用知识进行推理，学生的能力差异就凸显出来了 。因此，我们认为，要学好数学，首先要过好推理关，它是学习数学的第一个支点 。


数学中究竟应如何进行推理？经得起断章取义是一个基本原则 。具体地说，就是推理中的每一个“所以…”的论断，都必须有充足的依据：或者是某个定理保证，或者是某个法则保证，或者是某种性质（如等式、不等式的基本性质，分式的基本性质等）保证 。而且在子范围内，独立形成一个完整的推理 。


2、语言的差别（理解数学语言，过“符号”关）
文科的语言是我们早已熟悉的常规语言，因而运用起来轻车熟路，得心应手 。而数学则不是这样，为了简化复杂的表述，数学总是用一些特定的符号来表示特定的含义 。所以我们说，数学是符号的科学，因为它的语言充满着符号 。


数学的每一个符号就是它的一个语言单元，包含了非常丰富的内容 。
比如你见到这样一个符号：，你熟悉它表示什么含义吗？如果你仅仅记住了=1.414…，则你并没有理解和掌握这一符号 。

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实际上，表达了这样两层含义 。一方面，它是那样的一个数，这个数同时满足2个条件：（i）它的平方为2；（ii）它不小于0 。

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另一方面，它又表示一种运算：对2求算术平方根（也就是求满足上述两个条件的数） 。由于这个数用有限小数表示都是近似值，所以将其运算结果也用表示 。

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一般地，既表示一个运算，又表示一个运算的结果（当它不能化简时） 。

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所以，从运算的角度看，隐含有a≥0；从运算的结果看，隐含有≥0 。

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如果你这样把握了符号的意义，就绝不会出现诸如=±3的错误了 。

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