因为实数集里的实数可以铺满直线并且和直线上的点一一对应 ， 直线具有连续性 ， 那么这个实数集也应该具备相应的连续性 。 Dedekind从直线连续性公理得到启示 ， 认为实数集的连续性应该表现出这样的性质：如果把实数集内的 所有数分成两部分 A 1 和 A 2， 以至于 A 1 内的每个数都小于 A 2 内的每个数 ， 那么有且仅有一个数能产生这个分割 ， 这个数本身可以归为 A 1 这部分的最大数或 A 2 这部分的最小数5。 实数集是连续的 ， 所以也称实数集是数的连续体 ， 英文number continuum6， 亦译作"数的连续统" 。 上面这条性质可称为数的连续体公理（number continuum axiom） ， 因为这条性质是受直线连续性公理启示而提出来的 ， 所以也应将它看成是一个给定的事实 ， 无需证明 。
至此 ， 你也许会高呼："好了！我们终于有数的连续体了！"但是 ， 我们还是必须得摸清楚这个连续体内的情况、搞清楚它具备的其它性质才行 ， 不然空有一个概念而不懂其性质 ， 那么我们也就无法运用数的连续体 ， 最终也只不过是让这个概念形同虚设 ， 无所用场 。
有需要的读者请先去了解实数集的这些概念以便继续阅读：上界、最小上界（亦作"上确界" ， 英文the least upper bound）、下界、最大下界（亦作"下确界" ， 英文the greater lower bound） 。
要学习的首条性质很重要 ， 它使得实数集区别于有理数集------ 非空有上界的实数集在实数集内有最小上界（上确界）7， 称为 实数集的最小上界性质（Least upper bound property of R）。
证明：设A是 RR 的非空真子集且有上界 ， 那么比A内每个数都大的实数组成的集合C ， 余下的实数组成的集合B内的每个数都小于C内的每个数 ， 根据数的连续体公理可知有且仅有一个实数c能把实数集分成B和C两部分 ， c是B的最小上界 。 另外因为集合B内的每个数都不比A内每个数都大 ， 所以A的上界就是B的上界 ， 又因为A?B ， 所以B的上界就是A的上界 ， 综上可知集合A和集合B有共同的最小上界c ， 所以有上界的集合A在实数集内有最小上界 。
反过来看 ， 如果非空有上界的实数集A在实数集内有最小上界c的话 ， 那么不大于c的数组成的集合B包含集合A ， 大于c的数组成集合C ， 这样实数集就被分成了集合B和C ， B里的数都小于C里的数 ， 显然c就是唯一产生这个分割的数 。 可见 ，数的连续体公理和实数集最小上界性质可互相导出彼此 ， 也就是它们是等价的 ， 当然 ， 如果我们以实数集最小上界性质作为公理的话 ， 那么"数的连续体公理"可以由其推得 ， 就应该把它改名作"数的连续体定理"了 ， 因为我们要求公理是不需要证明的 。 忽略称谓上区别的问题 ， 我们应该记住的是这两条性质是等价的 ， 很多书上都以实数集最小上界性质作为刻画实数集连续的根本性质 ， 其也被称为完整性（或完备性）公理（或定理）（completeness axiom 或completeness theorem） ， 同样 ， 至于叫它公理还是定理取决于是否将这条性质看作是给定的事实 。
非空有上界的有理数集在有理数集内就未必有最小上界 ， 此处举例说明 。 因为没有平方等于2的有理数， 所以可把有理数分成所有负有理数和平方小于2的非负有理数组成的集合 A 1 = { x ∈ Q | x^ 2 < 2 or x < 0 } 和所有平方大于2的正有理数组成的集合 A 2 = { x ∈ Q | x^ 2 > 2 and x > 0 }， 如果我们在有理数集内讨论 A 1 的最小上界的话 ， 那么因为此前文章我们已经证明过中无最大数，所以这个最小上界只可能在 A 2 内 ， 如果在 A 2 内有 A 1 的最小上界c的话 ， 那么根据已经证明过的 A 2 中无最小数可知 A 2 内有比c更小的有理数b ， b仍然大于 A 1 内的所有数 ， 所以 A 1 在 A 2 内无最小上界 ， 总之 A 1 在有理数集内都没有最小上界 ， 由此可见有上界的有理数集在有理数集内不一定有最小上界 ， 所以说实数集的最小上界性质使得实数集区别于有理数集 ， 而造成这种状况的根本原因还是实数集是连续的而有理数集却不然 。