实数的概念（包括有理数和无理数）在这两种定义出现之前就已经存在了 ， 但是因为一直没有对实数有个明确的定义 ， 以至于这种模糊的概念造成了很多矛盾 ， 比如曾经一度认为实数集里包含所谓的"无穷小数"和"无穷大数" 。 上面这两种实数定义提出的目的是为了给实数一个严格的定义 ， 为实数的存在建立严谨的基础 ， 进而排出之前模糊不清的实数概念所带来的矛盾 。 总之 ， 这两种实数定义是数学家在对实数有了基本的直观的认识之后对实数进行严谨的正式的整理之后的产物12， 这些定义为的是严谨 ， 至于是否让初学者觉得简单易学并不是这些定义主要关心的问题 ， 关于数学知识的严谨性与可理解性、可学性的探讨读者可以看看Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach(Second Edition)的preface to the first edition部分 ， 作者对微积分的教学和它的严谨性间的关系有着非常有见地的认识！另外一个让初学者觉得这两种实数定义难以理解的主要原因是这两种定义都用抛弃几何的方法去定义实数 ， 进而给出的实数定义比较抽象和怪异 。 德国数学家Hermann Hankel对此评论说："这类抛弃了几何连续体（直线）启示而定义出来的实数尽管有了严谨的基础 ， 但却是极端晦涩难懂、令人反感畏惧的人造物 ， 每个人都有权利去怀疑这些定义的科学价值 。 "原话13 ：Every attempt to treat the irrational numbers formally and without the concept of (geometric) magnitude must lead to the most abstruse and troublesome artificialities, which, even if they can be carried through with complete rigor, as we have every right to doubt, do not have a higher scientific value.
对于大多数想要弄清楚"实数集为什么是连续的"、"实数和数轴上的点为什么是一一对应的"的初学者来说 ， 这种抛弃几何直观后给实数的定义已经把他们对实数的印象搞得面目全非了 ， 如果还要按照这种路子走下去 ， 那么后续的学习很大程度上只是应用这些定义或性质去机械地证明一些结论 ， 对于理解背后的数学思想基本没什么实质性的帮助 。 德国数学家Paul du Bois-Reymond也表达了和我同样的观点——剥离了实数和几何连续体（直线）关系后建立的分析学将会使得这门学科沦为折腾符号的玩意儿 。 原话14 ：A purely formalistic-literal framework of analysis which is what the separation of number from magnitude amounts to, would degrade this science to a mere game of symbols.
不管这些定义的创建者避免使用几何方法来定义实数的原因为何 ， 一个很迫切很关键的需求是：我们需要每条线段的长度都要能用一个数去代表去衡量 ， 换句话说就是要有一个数集以至于这里面的每个数和直线上每个点一一对应 ， 这是一种迫切的要求 ， 这必然使得我们把"要有一个数集以至于这里面的每个数和直线上的每个点一一对应"当作是一条必须成立的性质——把它看作是一条公理 ， 这个数集就是实数集 ， 实际上即便是上面这两种定义的提出者Cantor和Dedekind——他们用抛弃了几何的方法去定义实数 ， 但是为了在"数（特指实数集）"和"形（特指直线）"之间建立联系也不得不引入这条公理15， 后世称之为Cantor-Dedekind公理16 ------直线上的每个点和和实数集里的实数一一对应 。 正是基于数和形之间无法割舍的紧密关系 ， 也因为抛弃几何后对实数下的定义非常抽象和怪异、不易理解 ， 所以本文的无理数的定义方式并没有抛弃几何 ， 而是把无理数定义为与一个无理点唯一对应的数 。
第三部分 回顾Dedekind对实数的定义方式
现在我们来看看Dedekind对实数的定义方式 ， 这有助于我们进一步了解实数的性质 。 Dedekind是从上文提到的直线连续性公理出发 ， 以有理数集为基础来构造数的连续体的 。 他首先引入了一种有理数集的分割方式——把有理数集 Q分成两个非空集合 A 1 和 A 2， 也就有 A 1 ∪ A 2 = Q， 另外对于 a 1 ∈ A 1 和 a 2 ∈ A 2， 有 a 1 < a 2。 后人将这种分割方式命名为有理数集的Dedekind分割（Dedekind Cut） ， 记为 A 1 | A 2。