根据实数集的最小上界性质我们可以证明 实数集的阿基米德性质（Archimedean Property for Real Numbers）：如果x和y都是任意正实数 ， 那么存在正整数n使得nx > y.
可用反证法来证明：假设nx > y对于任何正整数n都不成立 ， 那么也就是说集合A={nx|n∈N}有上界y 。 根据实数集的最小上界性质可知A有最小上界z ， 因为x是正数 ， 所以z-x就不是A的上界 ， 那么也就存在正整数m使得mx>z-x ， 该式变形可得（m+1）x>z ， 也就是A中的元素（m+1）x大于A的最小上界 ， 这是不可能的 ， 所以原结论得证8。
根据实数集的阿基米德性质可得到如下两条性质：
1）对于任意正实数x ， 总存在正整数n使得 1/ n < x。
将不等式两边都乘以n得到1<nx ， 这个不等式是符合实数集的阿基米德性质的 ， 故得证 。 这个证明过程中需要读者接受这个不等性质：如果x<y ， 对于任意正整数n有nx<ny 。 通过实数集的阿基米德性质和本条性质可知： 实数集内即无最大正数也无最小正数 。
2）如果 a和 b都是实数并且 a<b ， 那么必存在有理数 r使得 a<r<b 。 9
证明：1和 b?a都是正实数 ， 那么必存在正整数 n使得 n(b?a)>1 。 因为差值大于1的两实数间必然存在整数 m ， 所以有 nb>m>na ， 稍作变形得到 b > m/ n > a， 显然 m/ n 是有理数 ， 所以 任何两个不相等的实数间存在有理数 ， 重复应用这个的方法我们还可以得到 任何两个不相等的实数间存在无数个有理数这个结论(请读者思考其中的证明细节) 。 这个证明过程用到了实数的乘法分配律 ， 即： n ( b ? a ) = n b ? n a， 需要读者接受分配律是对的此证明才成立 。
上面说到的实数集的性质都很关键 ， 请读者留意！首次学习微积分（国内称为"高等数学"）或数学分析的学生掌握上面这些性质 ， 然后再加上大学之前的数学课程里学习到的和实数相关的不等关系和算术运算法则 ， 对于学习这两门课程就差不多了 ， 下面的内容是为想要进一步了解实数理论的学生写的 。
第二部分 定义实数的方式
现在我们来回顾一下实数集的得出过程 。 从有理数集扩展到实数集需要引入的是一类新的数——无理数 ， 所以问题就归结到如何去得出无理数、如何去定义无理数 。 不同于本文中的无理数的定义方式——与一个无理点唯一对应的数 ， 现在比较盛行的无理数或实数的定义方法分别是德国数学家康托（Georg Cantor）的和Dedekind的方法 。 因为无理数集被视为实数集的一部分 ， 所以当有了实数的定义方法时 ， 无理数的定义方法自然就可以用实数的定义方法来代替 ， 因此下文主要说的是实数的定义方法 。
Cantor对实数的定义10 是：对于任意给定的有理数 ， 如果一个各项都是有理数的数列去除有限多项外的其它无限多项间的差值都小于这个有理数 ， 那么这个数列就是一个实数 。
现在大多数教材普遍认为Dedekind对实数的定义11 是：每一个有理数集的分割就是一个实数 。 有理数集分割的定义是：把有理数集分成两个非空集合 A 1 和 A 2， 以至对于 a 1 ∈ A 1 和 a 2 ∈ A 2， 有 a 1 < a 2， Dedekind把这种分法称为分割（Cut） ， 后人称其为有理数集的Dedekind分割（Dedekind Cut） ， 记为 A 1 | A 2。 我认为这种实数定义与Dedekind的原意有所不同 ， 后文会详细说明原因 。
当你第一次看到这些实数定义时 ， 你也许会像我一样痛苦地感叹道：这是什么东西？如此怪异 ， 完全看不懂啊！我们为什么需要这种令人费解的定义？按照他们这些定义来描述实数 ， 那么实数到底是个什么东西啊？完全没有了我们一开始对实数认识的样子了 。 之前我们可以直观地认为实数就是数轴上的第一个点 ， 但现在 ， 实数从我们自认为最熟悉的数变成了难以捉摸、令人费解的怪物！