本文主要是想通过简单易懂且兼顾严谨性的方式来介绍如何从有理数过渡到实数 。 文章稍长 ， 但看完后你至少会明白如下几个关键问题：
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1. 无理数或实数的定义；
   
2. 实数集为什么是连续的、实数集里的数为什么可以和数轴上的点一一对应；
   
3. 无理数的独特性质；
   
4. 无理数为什么也满足有理数的运算法则和运算性质（如乘法结合律、分配律等）；
   

另外 ， 本文引证了一些英文叙述 ， 看不懂并无大碍 ， 理解我的中文叙述才是重点 。
第一部分 从有理数集到连续的实数集
首先我们来看如何把所有的有理数表示在一条直线上 。 当在一条水平直线上选定代表0和1的点之后（0在1的左边） ， 把0和1间的距离叫作单位长度 ， 在1的右边每隔一个单位长度就取一个点 ， 一直无止境地进行下去 ， 把这些新标示出来的点从左到右依次用来代表2 ， 3 ， 4......这些正整数 ， 在0的左边每隔一个单位长度就取一个点 ， 一直无止境地进行下去 ， 把这些新标示出来的点从右到左依次用来代表-1 ， -2 ， -3 ， ......这些负整数 ， 这样我们就在这条直线上找到了代表每个整数（ 分母为1的有理数）的点 ， 可以通过尺规作图来完成这种构造 。 每个有理数都可以p/q 这种形式唯一表示 ， 这里p是正整数 ， 并且p和q没有比1大的公因子 ， 为了在这条直线上标出代表分母q大于1的有理数的点 ， 我们只需把每个单位长度的区间进行q等分（尺规作图可以做到这一点） ， 那么每一个分点就都代表一个分母为q的有理数 。 显然每个有理数都可以用这种方法在这条直线上找到代表它的那个点 ， 可称这些点为"有理点" ， 但是一个很重要的事实是——并非这条直线上的所有点都是有理点 ， 比如直角边为单位长度的等腰直角三角形 ， 如果用圆规以其斜边长为半径 ， 代表0的点为圆心画圆的话 ， 那么圆弧与这条直线的交点就不会与任何有理点重合1。
证明：设其斜边长度为 l ， 那么根据勾股定理有， 如果那个交点是有理点 ， 那么 l就应该是一个有理数 ， 则 l可以用 p/q这种形式唯一表示 ， 即 l=q ， 按规定 p和 q没有比1大的公因子 ， 把 l换成 p/q后有(p/q)^2=2 ， 接下来我们将导出与此相悖的结论出来 。 稍作变换得到， 那么 p^ 2 就是偶数了 ， 显然 p也必须是偶数 ， 便有，p 0 是整数 ， 把前面等式的 p换作 后有 ， 即 ， 这说明 q^ 2 是偶数 ， 显然 q也必须是偶数 ， 这就证明了 p和 q有公因子2 ， 这与前面的" p和 q没有比1大的公因子"这个规定矛盾 ， 而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设那个交点是有理点 ， 所以数轴上的点并非都有有理数与之对应 ， 可称没有有理数与之对应的点为"无理点" ， 很容易能在数轴上构造出无数多个无理点出来 。
显然 ， 如果我们需要用数来表示所有线段的长度的话 ， 那么我们必须接受下面这条事实：水平直线上的每个无理点都应该要有唯一的非有理数与之对应 ， 可称这个数为"无理数" ， 并且如果一个无理点在另外一点的右边（或左边） ， 那么与这个无理点对应的无理数大于（或小于）与那个别的点对应的数 。 可把有理数和无理数统称为实数 ， 把这条每个点都对应唯一一个实数的直线称为数轴 ， 这样 实数就和数轴上的点一一对应了 。 另外需要注意的是并非每个无理数都可以用尺规作图这种方式找出其在这条直线上所对应的点 2。
直线是连续的 ， 其连续性表现出了这样的性质3 ：如果把一条水平直线上的 所有点分成左右两个部分 ， 左边这部分的每一点都在右边这部分的每一点的左边 ， 那么有且仅有一个点能造成这种分割 ， 这个点本身可以归为左边这部分的最后一点或右边这部分的起点 。 这条性质是由德国数学家戴德金（Richard Dedekind）提出的 ， 他认为这条性质是一个明显的事实 ， 无需也无法被证明 ， 它能够刻画直线的连续性 ， 它是直线之所以连续的本质表现 ， 应将其看作一条公理 4， 可称其为直线连续性公理（line continuity axiom） 。 需要说明的一点是这条公理默认运用了"直线上两个不同点间存在无数多个不同点"这条性质 ， 因为如果至少有两个不同点可以把直线分成同样的左边和右边两部分 ， 那么这两个点间的那无数多个点既不属于左边的部分也不属于右边的部分 ， 基于此 ， 公理中才说"有且仅有一个点能造成这种分割" 。