有理数集的Dedekind分割 A 1 | A 2 不外乎就是这3种情况17 ：
1） A 1 中有最大数 ，A 2 中无最小数 ， 如 A 1 = { x ∈ Q | x ≤ a , a ∈ Q }，A 2 = { x ∈ Q | x > a , a ∈ Q } ；
2） A 1 中无最大数 ，A 2 中有最小数 ， 如 A 1 = { x ∈ Q | x < b , b ∈ Q }，A 2 = { x ∈ Q | x ≥ b , b ∈ Q } ；
3） A 1 中无最大数 ，A 2 中无最小数；
" A 1 中有最大数 a 1，A 2 中有最小数 a 2 "的情况是不可能的 ， 否则( a 1 + a 2)/2 便是一个不在 A 1 ∪ A 2 内的有理数 ， 这与 A 1 ∪ A 2 = Q 相悖 。
上面的第三种情况是值得我们仔细思考的 。 第三种分割可能存在吗？存在！上文提到的所有负有理数和平方小于2的非负有理数组成的集合 A 1 = { x ∈ Q | x^ 2 < 2 or x < 0 } 和所有平方大于2的正有理数组成的集合 A 2 = { x ∈ Q | x^ 2 > 2 and x > 0 } 构成的分割 A 1 | A 2 就符合第三种情况 。 实际上这种分割有无数多个 ， 比如让D是任意一个正整数并且 D 不是正整数18， 那么 A 1 = { x ∈ Q | x^ 2 < D or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x^ 2 > D and x > 0 } 构成的分割同样是 A 1 中无最大数 ，A 2 中无最小数 。 第一种情况下的分割可以看作是由 A 1 里的 a产生的 ， 第二种情况下的分割可以看作是由 A 2 里的 b产生的 ， 至于第三种情况下的分割 ， 对于任何一个 A 1 或 A 2 中的数在同一集合内都有比它大或小的有理数 ， 所以任何一个 A 1 或 A 2 中的数都不可能产生这种情况下的分割 ， 因此这个分割不是由有理数来产生 ， Dedekind说这个分割是由一个新的数——无理数来产生的 ， 他的原话是这么说的19 ：Whenever, then, we have to do with a cut A 1 | A 2 produced by no rational number, we create a new, an irrational number α, which we regard as completely defined by this cut A 1 | A 2 ; we shall say that the number α corresponds to this cut, or that it produces this cut. From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number, and we regard two numbers as different or unequal always and only when they correspond to essentially different cuts.
Dedekind从有理数集出发 ， 通过定义分割的方式最终得到的只不过是有理数集和有理数集的分割而已 ， 并没有所谓的"无理数"这种新概念 ， 如果有的话 ， 那么这个概念也只不过是"不是由有理数产生的分割"的别名罢了 ， 或者说无理数就是这种分割 ， 并不能说分割是由无理数产生的 ， 如果硬是要这么说那就默认假定了"无理数"和"不是由有理数产生的分割"是不同的概念了 ， 那么这个"无理数"又是哪里来的呢？这个问题在1888年就由德国数学家Heinrich Weber写信告诉过Dedekind ， 但Dedekind回答说：我定义的无理数并不是"没有有理数产生的分割" ， 而是造成这种分割的数 ， 正如有理数可以产生有理数集的分割并且产生分割的有理数本身并不是一个分割那样 ， 我们完全有智力可以创造出这种区别于分割的无理数出来"------取自Morris Kline的书20， 原文：In fact Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we have the mental power to create such concepts.
"我们完全有智力可以创造出这种区别于分割的无理数出来" ， Dedekind的这种辩护犹如空中楼阁 ， 他要创造区别于"不是由有理数产生的分割"的"无理数"出来是完全没有基础的 。 另外一个我发现的问题是：如果按照Dedekind的话说"不是由有理数产生的分割是由 一个无理数产生的" ， Dedekind在他的著作里并没有说明为什么这个分割不可能是由多个无理数产生的 。 正是因为前面第一个问题 ， 所以现在的数学教材里介绍用有理数集的Dedekind分割构建实数集时都拒绝"不是由有理数产生的分割是由无理数产生的"这种说法 ， 而是把实数集看成是所有有理数分割的集合 ， 在这里面无理数是"不是由有理数产生的分割" ， 而有理数的定义也早已不是"可以写成 p q 形式的数"了 ， 而是一个"由有理数产生的有理数集的分割" ， 可见这种定义虽然严谨了实数理论 ， 但是却让实数变得好不自然、比较抽象 ， 完全颠覆了我们一开始对实数的认识 ， 希望深入了解这种定义方式的读者可去看D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study ， 从第二章看起 。 本文的无理数的构造方法和Dedekind的方法一样都是受到了直线连续公理的启示而生 ， 所不同的是本文没有把无理数看作是产生"没有有理数产生的有理数集分割"的数 ， 而是把无理数规定为与无理点一一对应的数 ， 这样的好处是即保留了我们对实数的直观认识 ， 也避免了Dedekind的方法受到的质询 。