另外 ，从本文无理数的定义角度来看 ， 如果一个有理数集的分割 A 1 | A 2 不是由有理数产生的 ， 那么这个分割确实是由一个无理数产生的 ， 理由如下：比 A 1 内每个数都大的实数组成的集合C（显然C包含 A 2 ） ， 余下的实数组成的集合B（显然B包含 A 1 ）内的每个数都小于C内的每个数 ， 根据数的连续体公理可知有且仅有一个实数c能把实数集分成B和C两部分 ， c是B的最小上界（显然c是个无理数 ， 否则与“分割 A 1 | A 2 不是由有理数产生的”相悖） 。 另外因为集合B内的每个数都不比 A 1 内的每个数都大 ， 所以 A 1 的上界就是B的上界 ， 又因为 A 1 ?B ， 所以B的上界就是 A 1 的上界 ， 综上可知集合 A 1 和集合B有共同的最小上界c ， 可见虽然 A 1 在有理数集内没有最小上界 ， 但是在实数集内就有最小上界 。 上面我们只是说到有且仅有一个无理数c能把实数集分成B和C两部分 ， c这个无理数也能把有理数集分作 A 1 和 A 2 这两个集合 ， 那么还有没有异于c的其它无理数可以产生同样的有理数集的分割呢？如果至少有一个异于c的无理数d能产生这个有理数集的分割的话 ， 那么根据之前已经证明过的结论知道必有有理数落在c和d之间 ， 这与c和d能产生相同的有理数集分割相悖 ， 所以 有且仅有一个无理数能产生不是由有理数产生的有理数集分割 。 用同样的方法也可以证明那些由有理数产生的分割也是仅由唯一的那个有理数产生的 。 总之 ， 产生有理数集分割的实数是唯一的——不可能由两个不同的实数产生相同的有理数集分割 ， 换句话说 有理数集的分割与实数是一一对应的 。
没有有理数来产生的分割的存在 ， 从数的连续体公理角度来看 ， 这揭示了有理数集是有空隙的 。 因为在实数集内有且仅有一个无理数c能产生这个分割 ， 可以说 A 1 和 A 2 间的空隙仅能容纳c这个无理数或者说 A 1 和 A 2 间的空隙被c这个无理数给填起来了 ， 显然c大于 A 1 内的每个有理数同时又小于 A 2 内的每个有理数 ， 也可以说 A 1 和 A 2 这两个集合可以界定c这个无理数 。 归根结底 ， 这个特性还是由数的连续体或实数集的连续性所致 。
我们已经知道两个有理数 p 1/ q 1 和 p 2/ q 2 相加的结果被定义成( p 1 q 2 + p 2 q 1)/ q 1 q 2， 但是因为无理数不能写成 p/ q 这种形式 ， 那么在实数集里无理数和另外一个有理数或无理数的运算结果该怎么定义呢？我们已经知道每个无理数或实数都有唯一的有理数集分割与之对应 ， 所以可以通过有理数集的分割去探讨无理数或实数的相关问题 。 设 a是产生有理数集分割 A 1 | A 2 的实数 ， b是产生有理数集分割 B 1 | B 2 的实数 ， 那么对于任意一个来自 A 1 内的有理数 a 1 和任意一个来自 B 1 内的有理数 b 1， 有 a ≥ a 1 和 b ≥ b 1， 那么 a + b ≥ a 1 + b 1 ,即 a + b 是 C 1 = { a 1 + b 1 | a 1 ? A 1 , b 1 ? B 1 } 的上界 ， 把其余比 C 1 内每个有理数都大的有理数组成的集合记为 C 2， 这样就得到了有理数集的分割 C 1 | C 2， 在实数集内有且仅有一个实数c能够造成这个分割 。 另外 ， 因为 a + b 是 C 1 的上界 ， 如果我们能证明 a + b 不大于 C 2 内的任何有理数 ， 那么也就证明了 a + b 是产生分割 C 1 | C 2 的数 ， 就有 a + b = c， 也就是说我打算用这种构造分割 C 1 | C 2 的方式定义 a + b 的和 。 现在用反证法来证明" a + b 不大于 C 2 内的任何有理数"：假设 C 2 内存在有理数 c 0 以至于 a + b > c 0， 那么根据上面证明过的"任何两个不相等的实数间存在无数个有理数"这点可知在0和 a + b ? c 0 之间存在有理数 q， 即 a + b ? c 0 > q > 0， 进一步可得到 ( a ? q/ 2 ) + ( b ? q/ 2 ) > c 0， 因为 a是 A 1 的最小上界 ，b 是 B 1 的最小上界 ， 那么在 A 1 和 B 1 内必然分别存在有理数 a 0 和 b 0 满足 a > a 0 > ( a ? q/ 2 ) 和 b > b 0 > ( b ? q/ 2 )， 进而有 a + b > a 0 + b 0 > ( a ? q/ 2 ) + ( b ? q/ 2 ) > c 0， 从中竟然得出 C 2 内的数 c 0 小于 C 1 内的数 a 0 + b 0， 这与分割 C 1 | C 2 的定义相悖 ， 所以 a + b 不大于 C 2 内的任何有理数 ， 因此 a + b 是产生分割 C 1 | C 2 的数 ， 就有 a + b = c。 通过构造分割 C 1 | C 2 的方式 ， 一方面我们定义了 a + b 的和 ， 另外还可以通过c与 C 1 和 C 2 内的有理数大小关系来感知c的大小——c是不小于 C 1 内的每个有理数同时也不大于 C 2 内的每个有理数的唯一实数 。 应用类似的方法还可以定义实数 aa 和 bb 的乘法并且最终证明有理数的运算法则和运算性质（特指如下几条）同样适用于实数 。