文章图片

希望深入了解的读者可以去看David French Belding和Kevin J. Mitchell的Foundations of Analysis, 2nd Edition ,可从19页看起 ， 或D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study， 从第二章看起 ， 阅读时要注意本文与这些书所不同的是并没有把实数看作是有理数集的分割 。
没有有理数来产生 A 1 = { x ∈ Q | x^ 2 < 2 or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x^ 2 > 2 and x > 0 } 组成的分割 A 1 | A 2， 但有唯一的实数c可以产生这个分割 ， 那么 c^ 2 = 2 吗？一个实数的平方只有小于或等于或大于2三种情况 ， 如果能 证明c^ 2 < 2 和c^ 2 > 2 都会引出矛盾 ， 那么 c^ 2 必然等于2 。 这里c显然是个正数 ， 为了简化问题 ， 我们就在正数范围内讨论本问题 。 如何引出矛盾呢？假设 c^ 2 < 2 时 ， 如果能 证明存在有理数q 使得c^ 2 < q^ 2 < 2， 这就会造成 A 1 内的有理数q大于 A 1 的最小上界c这种矛盾 ， 那么如何证明存在这样的有理数 qq 呢？如果有办法可以 证明存在着比c还大的实数d满足c^ 2 < d^ 2 < 2， 那么通过"任何两个不相等的实数间存在无数个有理数"这条结论就可以知道存在有理数 q 满足 c < q < d， 再根据"如果 0 < q < d， 那么 q^ 2 < d^ 2 "这个不等性质可知 q^ 2 < 2， 可见 ，问题最终可归结到满足条件的实数d是否存在 。 首先因为 c^ 2 < 2， 只要选定足够大的正整数 n 就可以让 c + 1/ n 变得比 c 稍大一点点 ， 那么我们很自然就会想：是不是存在正整数 n 使得实数 d = c + 1/ n 以至于 d^ 2 = ( c + 1/ n )^ 2 < 2 呢？因为 d^ 2 = ( c + 1/ n )^ 2 = c^ 2 + 2 c/ n + 1/ n^ 2 < c^ 2 + 2 c/ n + 1/ n = c^ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 )， 如果能证明存在正整数 n 使得 c^ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 ) < 2， 那么 d^ 2 < 2 自然得证 。 对 c^ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 ) < 2 稍作变形可得 1/ n <( 2 ? c^ 2)/( 2 c + 1 ) ，现在问题变成了是否存在正整数n 使得1/ n <( 2 ? c^ 2)/( 2 c + 1 ) ， 因为 c 是正数且 c^ 2 < 2， 所以( 2 ? c^ 2)/( 2 c + 1) 是正数 ， 根据"对于任意正实数 x， 总存在正整数 n 使得1/ n < x "得知存在这样的正整数 n， 也就存在正整数 n 使得实数 d = c + 1/ n 以至于 d^ 2 = ( c + 1/ n )^ 2 < 2， 而d的存在 ， 根据前面的分析知道是对假设 c^ 2 < 2 会产生矛盾的有力证据 ， 用同样的方法也可以证明 c^ 2 > 2 时也会产生矛盾 ， 所以 A 1 = { x ∈ Q | x^ 2 < 2 or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x^ 2 > 2 and x > 0 } 组成的分割 A 1 | A 2 是由正实数c产生的并且 c^ 2 = 2， 可把c记为 2， 从这里可以看到 2 确实存在我们定义出的实数集里 。
以有理数集为基础通过简单易懂的方式构建一个数的连续体（实数集） ， 并让读者明白几条实数的关键性质 ， 这就是本文的主要使命 。 【完】
参考文献：

1. Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P60?
   
2. John Stillwell, Numbers and Geometry, P260?
   
3. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P5?
   
4. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P5?
   
5. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P9?
   
6. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2?
   
7. Terence Tao, Analysis I, third edition, P117?
   
8. David French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21?
   
9. David French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21?
   
10. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P984?
    
11. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P986?
    • 上一页
    • 3
    • 4
    • 5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 下一页

    特别声明：本站内容均来自网友提供或互联网，仅供参考，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。