代入n = 1，得到一个发散的调和级数 。然而，对于所有n > 1，级数是收敛的 。
欧拉积公式
欧拉证明了ζ函数与质数之间的第一个联系，对于n和p两个自然数，其中p是质数：
欧拉积公式，其中n, p都大于零且p是质数
这个表达最早出现在1737年的一篇题为《关于无穷级数的观察》的论文中 。这个表达式表明，ζ函数的和等于：
这种惊人的联系奠定了现代质数理论的基础，从这一点开始，用ζ函数ζ(s)作为研究质数的一种方法 。
欧拉积公式的证明
欧拉从一般的ζ函数开始
首先，两边同时乘以第二项：
然后从ζ函数中减去结果表达式：
重复这个过程，然后两边乘以第三项：
然后用函数减去结果的表达式：
重复这个过程直到无穷大，最后只剩下表达式：
欧拉构造的是一个筛子，很像埃拉托色尼的筛子 。他把非质数从函数中过滤掉了 。
然后将表达式除以所有素数倒数项，得到：
函数与质数的函数关系
简化后得到：
欧拉积公式，表示素数和函数之间联系的恒等式
代入s = 1，求无穷次调和级数，再一次证明素数有无穷多个 。
默比乌斯函数
奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯后来重写了欧拉积公式，创造了一个新的和 。除了包含素数的倒数，莫比乌斯函数还包含所有素数因子的奇数和偶数乘积的自然数 。他的级数中剩下的数是那些除以某个质数平方的数 。其和，用μ(n)表示为：
莫比乌斯函数，欧拉乘积公式的修改版本，定义为所有自然数
和包含以下的倒数：
每一个质数;
每一个自然数，它是由奇数个不同素数的乘积，前面加一个减号;
以加每一个自然数，它是偶数和不同素数的乘积，前面加一个加号 。
以下是第一项：
这个和不包含可以除以某个素数平方的数的倒数，例如4、8、9等等 。
莫比乌斯函数μ(n)只接受三个可能的值：
莫比乌斯函数μ(n)的三个可能值
虽然最初由莫比乌斯正式定义，早在莫比乌斯定义的30多年前，高斯就在一篇旁注中对这个古怪的总和进行了深入的研究，他写道：
素数p的所有原始根的和是≡0，或≡±1，如果数是偶数，符号是正的，如果数是奇数，符号是负的 。
素数计数函数
回到质数 。为了理解质数在数轴上的分布情况 。由高斯引入的质数计数函数π(x)就是这样做的，它给出了小于或等于给定实数的质数的数量 。由于没有找到质数公式，我们只知道质数计数公式是一个图 。下图显示了x = 200时的函数 。
质数计数函数π(x)，x 取到200 。
素数定理
质数定理也由高斯和勒让德独立发表：
用当x趋于无穷时，质数计数函数π(x)将逼近函数x/ln(x)，两者之间的比率将接近1 。当x = 1000时，两个函数如下图所示：
在概率方面，质数定理指出，如果你随机选择一个自然数x，这个数成为质数的概率P(x)大约是1 / ln(x) 。这意味着前x个整数中连续素数之间的平均差约为ln(x) 。
对数积分函数
函数Li(x)定义为除x = 1外的所有正实数 。它由2到x的积分定义：
对数积分函数的积分表示
将这个函数与质数计数函数和质数定理的公式画在一起，我们可以看到Li(x)实际上是一个比x/ln(x)更好的近似：
对数积分函数Li(x)，素数计数函数π(x)和x/ln(x)一起绘制 。
这是一个多么好的近似值，如果我们做一个x值的表，可以看出：
在给定的十次幂以内的素数数目以及这两种估计的相应误差项
从这里可以很容易地看出，对数积分函数的近似值远远优于质数定理中的函数，仅在x = 10的14次方时“超调”了314,890个质数 。然而，这两个函数都收敛于质数计数函数π(x) 。Li(x)要快得多，但当x趋于无穷时，质数计数函数与Li(x)和x/ln(x)之间的比值趋于1 。可视化为：

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