< 2时的积分为0，因为没有小于2的质数 。其最大值为2，其积分约等于0.1400101….
当x变大时，后两项对函数值的贡献是无穷小的 。大数的主要“贡献者”是对数积分函数和周期和 。请看下面的图表：
在上面的图表中，我已经用黎曼素数计数函数J(x)的显式公式来近似质数计数函数π(x)，并对黎曼ζ(s)的前35个非平凡零求和 。我们看到周期项使函数“共振”，并开始接近素数计数函数π(x)的形状 。
下面你可以看到相同的图表，使用了更多的非平凡零点 。
使用黎曼的显式函数，我们可以非常精确地近似出素数的数目，直到并包括给定的数字x 。事实上，冯·科赫在1901年证明，利用黎曼zeta函数的非平凡零点对对数积分函数进行误差修正，等同于素数定理中误差项的“最佳可能”界 。
?后记
1866年，黎曼(39岁)去世，自那以后，他的开创性论文一直是素数和解析数论领域的里程碑 。直到今天，黎曼关于黎曼 ζ函数非平凡零点的假设仍然没有得到解决，尽管许多伟大的数学家进行了数百年的广泛研究 。每年都有大量与该假说相关的新结果和猜想被发表，人们希望有一天能找到确凿的证据 。

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