黎曼xi函数ξ(s)
黎曼ζ函数的零点
当ζ(s)=0时，ζ函数的根可以分为两种类型，它们被称为黎曼ζ函数的“平凡”零点和“非平凡”零点 。
实部Re(s) < 0的零的存在性
平凡零点是很容易找到并解释的 。它们在以下 ζ函数的函数形式中最容易被注意到：
黎曼泛函 ζ方程的一个变分
当sin项变为0时，这个乘积变为0 。例如，对于一个负偶数s = -2n，函数变为0 。然而，对于正偶数s = 2n, 0被γ函数Γ(z)的极点抵消了 。这在原始的函数形式中更容易看出来，如果你代入s = 2n，这一项的第一部分就没有定义 。
黎曼函数在每一个负偶数s = -2n处都是0 。这些是平凡零，它们可以在下面的函数图中看到：
实部为Re(s) >的零点的存在性
由欧拉积公式可以看出，在s的实部大于1的区域，ζ(s)不可能为零，因为一个收敛的无穷积只有当其中一个因子为零时才可能为零 。质数无限大的证明否定了这一点 。
实部0≤Re(s)≤1的零点的存在性
我们已经找到了Re(s) < 0时，在负半平面上的零点，并且说明了说明在区域Re(s) >1中不可能有任何零点 。
然而，在这两个区域之间的区域，被称为临界地带，是解析数理论在过去几百年里主要关注的地方 。
黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 60区间内实部和虚部的曲线图
在上面的图中，我用红色标出了ζ(s)的实部，用蓝色标出了虚部 。当s的实部为-2和-4时我们可以看到左下角的前两个零点 。在0和1之间，我已经标出了临界地带，并标出了ζ的实部和虚部相交的地方 。这些是非平凡零点的黎曼函数 。在更高的值中，我们看到更多的0，以及两个看似随机的函数，随着s的虚部变大，它们的密度也越来越大 。
黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 120区间内实部和虚部的曲线图
黎曼Xi函数
我们定义了黎曼Xi函数ξ(s)为：
黎曼Xi函数(无奇点)
这个函数满足这个关系：
黎曼函数正负值之间的对称关系
即函数是关于垂直线Re(s) = 1/2对称的，ξ(1) = ξ(0)，ξ(2) = ξ(-1)，依此类推 。这个函数关系结合欧拉积公式表明，黎曼xi函数ξ(s)在0≤Re(s)≤1范围内只能有0点 。黎曼函数的零点就是黎曼函数的非平凡零点 。从某种意义上说，黎曼ζ函数ζ(s)的临界线R(s) = 1/2对应于黎曼函数ξ(s)的实线Im(s) = 0 。
看看上面的两个图，你应该马上注意到这样一个事实，黎曼ζ函数ζ(s)的所有非平凡零的实部Re(s)等于1/2 。黎曼在他的论文中简要地点出了这一现象，这一短暂的评论最终成为他最伟大的遗产之一 。
黎曼假设
黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点有实部Re(s) = 1/2 。
这是黎曼在他的著名论文中提出的未经证实的猜想的现代表述 。也就是说，在0≤Re(s)≤1的临界带中，ζ为0，ζ(s) = 0的点都有实部Re(s) = 1/2 。若为真，所有的非平凡零点均为ζ(1/2 +it)的形式 。
一个等价的表述(黎曼的实际表述)是:黎xi 曼函数ξ(s)的所有根都是实的 。
在下图中，Re(s) = 1/2是横轴 。ζ(s)的实部Re(s)为红色图，虚部Im(s)为蓝色图 。非平凡零点是水平线上红蓝图的交点 。
黎曼函数在Re(s) = 1/2直线上的第一个非平凡零 。
如果黎曼假设成立，函数的所有非平凡零点将出现在这条线上，作为两个图之间的交点 。
相信黎曼假设的理由
有很多理由相信关于ζ函数零点的黎曼假说的真实性 。也许对数学家来说最令人信服的原因是它对质数分布的影响 。假设的数值验证非常高，表明它是正确的 。事实上，这个假设的数字证据足够强大，可以被认为是在其他领域如物理和化学的实验验证 。

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