γ函数
自从丹尼尔·伯努利和克里斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究了将阶乘函数扩展到非整数参数的问题以来，γ函数 Γ(z)一直是一个重要的研究对象 。它是阶乘函数n!向下移动1：
它的图形很奇怪：
【黎曼假设的实际用处 黎曼假设是什么】γ函数Γ(z)被定义为z大于零的所有复值 。复数使数学家和工程师能够计算和解决普通实数无法解决的问题 。从视觉上看，复数将传统的一维“数轴”扩展为二维的“数平面”，称为复数平面，复数的实部绘制在x轴上，虚部绘制在y轴上 。
为了能够使用γ函数Γ(z)，它通常被重写为这种形式：
利用这个等式，我们可以得到z < 0的值 。然而，它没有给出负整数的值，因为它们没有定义(从技术上讲，它们是奇点) 。
ζ和γ
ζ函数和γ函数之间的联系由以下积分给出：
波恩哈德·黎曼
我们已经掌握了必要的基础知识，我们终于可以开始把质数和黎曼假设联系起来了 。
德国数学家伯恩哈德·黎曼于1826年出生于布雷斯伦茨 。作为高斯的学生，黎曼发表了很多分析和几何领域的著作 。他最大的贡献可能是在微分几何领域，在那里他奠定了几何语言的基础，后来用于爱因斯坦的广义相对论 。
他在数论方面唯一的成就是1859年发表的论文《论小于给定数量级的质数》被认为是该领域最重要的论文 。在短短的四页里，他概述了：
复值ζ函数ζ(s)的定义;
zeta函数对所有复数s≠1的解析延拓;
黎曼函数ξ(s)的定义，是通过γ函数与黎曼ζ函数关联的一个完整函数;
黎曼ζ函数的泛函方程的两个证明;
利用素数计数函数和莫比乌斯函数定义黎曼素数计数函数J(x)
利用黎曼素数计数函数求素数数目小于给定数的显式公式 。
这是一项令人难以置信的壮举，这种壮举可能在那之后就再也没有见过了 。
黎曼ζ函数
我们已经在欧拉的乘积公式中看到了质数和函数之间的密切关系 。然而，除了这种联系之外，人们对它们之间的关系知之甚少，只有发明复数才能明确地表明它们之间的联系 。
黎曼首先考虑了复变量s的ζ函数ζ(s)，其中s = σ +it 。
其中s = σ +it是一个复数，其中σ和t都是实数 。
黎曼ζ函数ζ(s)是一个对所有实部大于1(Re(s) > 1)的复数都是解析的(有定值)的无穷级数 。在这个区域，它是绝对收敛的 。
为了在正则收敛区以外的区域分析函数(当复变量s的实部大于1时)，需要重新定义函数 。黎曼通过解析延拓半平面上Re(s) > 0上的绝对收敛函数成功地做到了这一点 。
黎曼ζ函数的重写形式，其中{x} = x – |x|
这个函数的新定义在半平面Re(s) > 0中处处是解析的;0，除了在s = 1处存在奇点 。这在这个定义域内称为亚纯函数，因为它是全纯的(在其定义域内每个点的邻域内复可微)，除了在奇点s = 1处 。它也是狄利克雷l函数的一个很好的例子 。
在他的论文中，黎曼并没有止步于此 。他继续用γ函数 Γ(z)来分析他的ζ函数ζ(s)到整个复平面 。为了保持本文的简单性，我不会在这里展示这个计算，但我强烈建议你自己阅读它，因为它非常好地展示了黎曼非凡的直觉和技术 。
他的方法利用了“Γ(z)对于复数变量的积分表示”和“一个叫做雅克比?函数?(x)”的东西：
整个复平面的泛函方程，除了在s = 0和s = 1处的两个奇点
在这种形式下，我们可以看到ψ(s)项比x的任何次幂下降得更快，因此积分对s的所有值都收敛 。
更进一步，黎曼注意到，如果用1 – s替换s，大括号中的第一项(-1 / s(1 – s) )是不变的 。

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