黎曼ζ函数和质数
以黎曼假设的真理为出发点，黎曼开始研究其结果 。他在论文中写道，
……很可能所有的根都是实数 。当然，这里需要一个严格的证明，经过几次短暂而徒劳的尝试后，我暂时把对它的寻找放在一边，因为它对于我的下一个目标似乎是无关紧要的 。
他的下一个目标是把 ζ函数的零点和质数联系起来 。
回想一下素数计数函数π(x)，它表示在实数x以下的素数的个数 。黎曼用π(x)定义了自己的素数计数函数，黎曼素数计数函数J(x)，定义为：
黎曼素数计数函数
关于这个函数首先要注意的是它不是无限的 。在某一项，计数函数将为零，因为x < 2没有质数 。因此，以J(100)为例，函数将由7个项组成，因为8项将包含100的8个根，大约等于1.778279 。所以这个质数计数项变成0，和变为J(100) = 28.5333….
与素数计数函数一样，黎曼素数计数函数J(x)是一个阶梯函数，当：
黎曼素数计数函数J(x)的可能值
?为了将J(x)的值与在x之前(包括x)有多少素数联系起来，我们通过一个称为莫比乌斯反演的过程恢复素数计数函数π(x) 。结果表达式为：
素数计数函数π(x)及其与黎曼素数计数函数和莫比乌斯函数μ(n)的关系
?请记住莫比乌斯函数的可能值是：
这意味着我们现在可以把质数计数函数写成黎曼质数计数函数的函数，得到：
这个新表达式仍然是一个有限和，因为当x < 2时J(x)是零，因为没有小于2的素数 。
如果我们现在看一下J(100)的例子，我们得到了和：
x = 100的质数计数函数
也就是小于100的质数的个数 。
翻译欧拉积公式
接着，黎曼以欧拉积公式为起点，用微积分推导出一种解析求质数的方法 。从欧拉开始：
前五个素数的欧拉积公式
?他先对两边取对数，然后把分母改写在括号里，得出关系式：
欧拉积公式的对数
?接下来，他使用著名的麦克劳林泰勒级数，展开右边的每一个对数项，创建一个无限和的无限和，每个质数级数的一项 。
欧拉积公式对数前四项的泰勒展开
下面的表达：
1/3^s的麦克劳林展开式的第二项
?这一项和计算中的其他每一项都代表了J(x)函数下的部分面积 。写成积分形式：
1/3^s的麦克劳林展开式中第二项的积分形式
?换句话说，利用欧拉积公式，黎曼证明了离散素数计数阶梯函数可以表示为积分的连续和 。下面我们的例子项显示为黎曼素数计数函数图下的部分区域 。
黎曼素数计数函数J(x)，x取到50，突出两个积分
对于质数3，积分的无穷积是：
将所有这些无穷和集合成一个积分，黎曼素数计数函数J(x)下的积分可以简单地写成：
或者是更流行的形式：
欧拉积公式的现代等效，连接了ζ函数和黎曼素数计数函数
黎曼将ζ函数ζ(s)与黎曼素数计数函数J(x)用微积分的语言写成等价于欧拉积公式的恒等式 。
在得到欧拉积公式的解析版本后，黎曼接着阐述了他自己的素数定理 。他给出的明确形式是：
“黎曼素数定理”猜测给定大小x下素数的数目
这是黎曼的显式公式 。它是质数定理的改进，更准确地估计在x以下有多少素数存在 。
第一项，是对数积分Li(x)，它是素数定理中素数计数函数π(x)的较好估计 。它是迄今为止最大的一项，就像我们之前看到的，它高估了在给定值x之前有多少个质数 。
第二项，或“周期项”是对x的ρ次方的对数积分的和，对ρ求和，这是黎曼ζ函数的非平凡零点 。
第三个是常数-log(2) = -0.6993147…
第四项，也就是最后一项是x

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