x^3-3x^2+1=0

文章插图
?(x^3+1)^3=(3x^2)^3

文章插图
?x^9-24x^6+3x^3+1=0
令y=x^3，则
y^3-24y^2+3y+1=0，
此方程根即为原方程根的3次方，
故依韦达定理得
α^3+β^3+γ^3=24，
α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3=3 。
提示:三根之和为0,积为-1,两两乘积之和为-3 。
根据三阶韦达定理
α+β+γ=3，
αβ+βγ+γα=0，
αβγ=-1，
以及x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)] 。
可得
①α^3+β^3+γ^3
=3αβγ+(α+β+γ)[(α+β+γ)^2-3(αβ+βγ+γα)]
=3*(-1)+3*(3^2-3*0)=24 。
②(α^3)(β^3)+(β^3)(γ^3)+(γ^3)(α^3)
=(αβ)^3+(βγ)^3+(γα)^3
=3(αβγ)^2+(αβ+βγ+γα)[(αβ+βγ+γα)^2-3(αβγ)(α+β+γ)]
=3(-1)^2+0=3 。
【设α、β、γ为x^3-3x^2+1=0的根，】见上传文件：

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